Question

小樂發(fā)明了一個魔術盒，當任意有理數對（a，b）放入盒中時，會得到一個新的有理數：a³+3a²b+3ab²+b³．
例如把（3，-2）放入其中，就會得到3³+3×3²×（-2）+3×3×（-2）²+（-2）³=19-18=1．
（1）現將有理數對（-2，3）放入盒中得到有理數m，再將有理數對（m，-7）放入盒中后，得到的有理數是多少？
有一位有思考的老師給我提出了這樣的修改建議很好，先謝他了！七年級最后一題他認為難度不夠，建議修改如下 
（2）小樂先放入有理數對（2009，-2010），如果再放入有理數對（-2010，2009），那么兩次得到的有理數會相等嗎？請你說明理由．
（3）在（2）中，你還能放入有理數對（-2009，

2008

），（

-2010

，2009）使得得到的有理數也和得到的有理數相等．
（4）小樂先放入有理數對（m，n），請你放入有理數對（

n

，

m

），讓得到有理數與小樂得到有理數相等．

Answer 1

分析：（1）先把有理數對（-2，3）放入盒中得到有理數m，求出m后，再把得到的（m，-7）再放入盒中即可得到所求的有理數；
（2）將有理數對（2009，-2010）放入盒中得到一個有理數，再將有理數對（-2010，2009）放入盒中得到另外一個有理數，比較即可；
（3）由于a³+3a²b+3ab²+b³=（a+b）³，所以在（2）中，還能放入有理數對（-2009，2008），（-2010，2009），能夠使得得到的有理數也和得到的有理數相等．本題答案不唯一；
（4）小樂先放入有理數對（m，n），可以再放入有理數對（n，m），能夠讓得到的有理數與小樂得到的有理數相等．

解答：解：（1）當a=-2，b=3時，把有理數對（-2，3）代入a³+3a²b+3ab²+b³可得：m=（-2）³+3×（-2）²×3+3×（-2）×3²+3³=1；
當a=1，b=-7時，把有理數對（1，-7）代入a³+3a²b+3ab²+b³可得：1³+3×1²×（-7）+3×1×（-7）²+（-7）³=-216．
答：最后得到的有理數是-216；

（2）小樂先放入有理數對（2009，-2010），如果再放入有理數對（-2010，2009），那么兩次得到的有理數會相等．理由如下：
∵當a=2009，b=-2010時，將有理數對（2009，-2010）代入a³+3a²b+3ab²+b³可得：2009³+3×2009²×（-2010）+3×2009×（-2010）²+（-2010）³=-1；
當a=-2010，b=2009時，將有理數對（-2010，2009）代入a³+3a²b+3ab²+b³可得：（-2010）³+3×（-2010）²×2009+3×（-2010）×2009²+2009³=-1．
∴小樂先放入有理數對（2009，-2010），如果再放入有理數對（-2010，2009），那么兩次得到的有理數相等；

（3）∵a³+3a²b+3ab²+b³=（a+b）³，且-2009+2008=-2010+2009=-1，
∴在（2）中，還能放入有理數對（-2009，2008），（-2010，2009），能夠使得得到的有理數也和得到的有理數相等．本題答案不唯一；

（4）∵a³+3a²b+3ab²+b³=（a+b）³，且m+n=n+m，
∴小樂先放入有理數對（m，n），可以再放入有理數對（n，m），能夠讓得到的有理數與小樂得到的有理數相等．
故答案為2008，-2010；n，m．

點評：此題是定義新運算題型．讀懂新運算及掌握公式a³+3a²b+3ab²+b³=（a+b）³是解題的關鍵．