Question

（2012•慶元縣模擬）定義：若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與他相似的圖形，則稱這個(gè)圖形是自相似圖形．
探究：（1）如圖甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請?jiān)趫D甲中畫出分割線，并說明理由．
（2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連接三角形各邊中點(diǎn)，則可將原三分割為四個(gè)都與它自己相似的小三角形．我們把△DEF（圖乙）第一次順次連接各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為1階分割（如圖1）；把1階分割得出的4個(gè)三角形再分別順次連接它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為2階分割（如圖2）…依次規(guī)則操作下去．n階分割后得到的每一個(gè)小三角形都是全等三角形（n為正整數(shù)），設(shè)此時(shí)小三角形的面積為S_n．
①若△DEF的面積為1000，當(dāng)n為何值時(shí)，3＜S_n＜4？
（請用計(jì)算器進(jìn)行探索，要求至少寫出二次的嘗試估算過程）
②當(dāng)n＞1時(shí)，請寫出一個(gè)反映S_n-1，S_n，S_n+1之間關(guān)系的等式（不必證明）

Answer 1

分析：（1）過直角頂點(diǎn)作斜邊的垂線即可得出兩個(gè)與原直角三角形相似的三角形．由于這兩個(gè)三角形都與原三角形共用一個(gè)銳角，又都有一個(gè)直角，因此有兩個(gè)對應(yīng)角相等，因此都與原三角形相似．
（2）由圖可知，每分割一次得到的圖形的小三角形的個(gè)數(shù)都是前面一個(gè)圖形中小三角形的個(gè)數(shù)的4倍，因此當(dāng)?shù)趎個(gè)圖時(shí)，如果設(shè)原三角形的面積為S，那么小三角形的面積應(yīng)該是S_n=

S

4n

，
①按所求的公式進(jìn)行計(jì)算，看n是多少時(shí)Sn的值在3和4之間．
②S_n=

S

4n

=

S

22n

，S_n-1=

S

4n-1

=

S

22n-2

，S_n+1=

S

4n+1

=

S

22n+2

，由此可看出S_n²=S_n-1•S_n+1

解答：解：（1）正確畫出分割線CD

（如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，CD即是滿足要求的分割線．）
理由：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°
∴△BCD∽△ACB；

（2）①△DEF 經(jīng)N階分割所得的小三角形的個(gè)數(shù)為

1

4n

S_n=

1000

4n

當(dāng) n=3時(shí)，S₃=

1000

S3

≈15.62
當(dāng) n=4時(shí)，S₄=

1000

S4

≈3.91
∴當(dāng) n=4時(shí)，3＜S₄＜4
②∵S_n=

S

4n

=

S

22n

，S_n-1=

S

4n-1

=

S

22n-2

，S_n+1=

S

4n+1

=

S

22n+2

∴S

2 n

=S_n-1×S_n+1，S_n-1=4S_n+1．

點(diǎn)評：本題考查的是相似形的識(shí)別，關(guān)鍵要聯(lián)系實(shí)際，根據(jù)相似圖形的定義得出．要根據(jù)前面幾個(gè)簡單圖形得出一般化規(guī)律，然后用得出的規(guī)律來求解．