Question

如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線CD交軸于點(diǎn)E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線CD的距離等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由

 

Answer 1

【答案】

 

（1）(1,9)

（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為 （2，）

【解析】解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為，

由拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，8）,可知c=8.

即拋物線的解析式為．                …………………1分

把，，代入, 得

解得.

∴ 拋物線的解析式為   ……………………………………………3分

∴ 頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,9).        ……………………………………………………2分

（2）設(shè)OB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)H，直線CD交線段OB的垂直平分線于點(diǎn)F，

直線CD的解析式為

     ∴  ,,即直線CD的解析式為

    ∴ 點(diǎn)E坐標(biāo)為 （-8，0）, 點(diǎn)F坐標(biāo)為 （2，10）,EH=FH=10，EF=10…2分

    假設(shè)線段OB的垂直平分線上存在點(diǎn)P，那么令點(diǎn)P坐標(biāo)為 （2，m），

    過點(diǎn)P作PQ⊥CD交CD于點(diǎn)Q，則有OP=PQ=，PF=  ……2分

 由題意知，Rt△FPQ∽Rt△FEH．     

∴．∴

       解得                ……………………………………………1分

∴  點(diǎn)P坐標(biāo)為 （2，），  ……………………………………………1分