Question

如圖，將△ABC的頂點A放在⊙O上，現(xiàn)從AC與⊙O相切于點A（如圖1）的位置開始，將△ABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜120°），旋轉(zhuǎn)后AC，AB分別與⊙O交于點E，F(xiàn)，連接EF（如圖2）．已知∠BAC=60°，∠C=90°，AC=8，⊙O的直徑為8．
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，有以下幾個量：①弦EF的長；②

EF

的長；③∠AFE的度數(shù)；④點O到EF的距離．其中不變的量是

 

（填序號）；
（2）當(dāng)BC與⊙O相切時，請直接寫出α的值，并求此時△AEF的面積．

Answer 1

分析：（1）在整個旋轉(zhuǎn)過程中，∠A為弦切角或圓周角，且大小不變，所以其所對的弦、弧不變；
（2）當(dāng)BC與⊙O相切時，即AC為直徑，點E與C重合，所以α=90°；△AEF為直角三角形，運用三角函數(shù)求邊長然后計算面積．

解答：解：（1）∵在整個旋轉(zhuǎn)過程中，∠A為弦切角或圓周角，且大小不變，所以其所對的弦、弧不變；
∴①②正確；
∵根據(jù)勾股定理得：O到EF的距離是

OF2-( 1 2 EF)2

，
∵OF不變，EF不變，
∴④正確；
∵在整個旋轉(zhuǎn)過程中，∠AEF和∠AFE都在改變，大小不能確定，
∴③錯誤；
故答案為：①②④． （多填或填錯得0分，少填酌情給分）（3分）

（2）α=90°．                     （5分）
依題意可知，△ACB旋轉(zhuǎn)90°后AC為⊙O直徑，
且點C與點E重合，
因此∠AFE=90°．                  （6分）
∵AC=8，∠BAC=60°，
∴AF=

1

2

AC=4，EF=4

3

，（8分）
∴S_△AEF=

1

2

×4×4

3

=8

3

．    （9分）

點評：此題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及切線和圓的有關(guān)性質(zhì)，難度較大．