Question

一副直角三角板由一塊含30°的直角三角板與一塊等腰直角三角板組成，且含30°角的三角板的較長直角邊與另一三角板的斜邊相等（如圖1）

（1）如圖1，這副三角板中，已知AB=2，AC=

2

3

，A′D=

6

（2）這副三角板如圖1放置，將△A′DC′固定不動(dòng)，將△ABC通過旋轉(zhuǎn)或者平移變換可使△ABC的斜邊BC經(jīng)過△A′DC^′′的直角頂點(diǎn)D．
方法一：如圖2，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜180°）
方法二：如圖3，將△ABC沿射線A′C′方向平移m個(gè)單位長度
方法三：如圖4，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度β（0°＜β＜180°）
請你解決下列問題：
①根據(jù)方法一，直接寫出α的值為：

15°

；
②根據(jù)方法二，計(jì)算m的值；
③根據(jù)方法三，求β的值．
（3）若將△ABC從圖1位置開始沿射線A′C′平移，設(shè)AA′=x，兩三角形重疊部分的面積為y，請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形中30°的直角邊所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得BC的長，然后根據(jù)勾股定理即可求得AC的長；
（2）①根據(jù)三角板的度數(shù)即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易證△CDH∽△CBA，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得CH的長，進(jìn)而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以證得Rt△AGD≌Rt△DHA，則BC∥AC′，利用平行線的性質(zhì)即可求解；
（3）分0＜x≤3-

3

，3-

3

＜x≤

3

，

3

＜x≤2

3

，x＞2

3

四種情況即可求解．

解答：解：（1）∵直角△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=2AB=4．
∴AC=

BC2-AB2

=2

3

．
在等腰直角直角△A′DC′中，A′C′=2

3

，
∴A′D=

2

2

A′C′=

6

．

（2）①α=45°-30°=15°；
②作DH⊥A′C于H，則DH=

1

2

A′C′=C′H=

3

．
∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CBA．
∴

DH

AB

=

CH

AC

，即

3

2

=

CH

2 3

，
∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-

3

，即m=CC′=3-

3

；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G．
由已知：DH=

3

，
AG×BC=AB×AC，
∴AG=

AG×BC

BC

=

2×2 3

4

=

3

，
∴AG=DH．
在Rt△AGD和Rt△DHA中：

AG=DH AD=DA

，
∴Rt△AGD≌Rt△DHA．
∴∠GDA=∠DAH=45°，
∴BC∥AC′，
∴β=∠BCA=30°；

（3）y=

-x2+(3- 3 )x-3+3 3 (0＜x≤3- 3 ) - 1 2 x2+3(3- 3 ＜x≤ 3 ) 1 2 (3＜x≤2 3 ) 0(x＞2 3 )

，

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)相等相等，對應(yīng)角相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了含30°的直角三角形三邊的關(guān)系以及等腰直角三角形的性質(zhì)．