Question

6．數(shù)學老師布置了這樣一道作業(yè)題：
在△ABC中，AB=AC≠BC，點D和點A在直線BC的同側(cè)，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，連接AD，求∠ADB的度數(shù)．
小聰提供了研究這個問題的過程和思路：先從特殊問題開始研究，當α=90°，β=30°時（如圖1），利用軸對稱知識，以AB為對稱軸構(gòu)造△ABD的軸對稱圖形△ABD′，連接CD′（如圖2），然后利用α=90°，β=30°以及等邊三角形的相關(guān)知識便可解決這個問題．

（1）請結(jié)合小聰研究問題的過程和思路，求出這種特殊情況下∠ADB的度數(shù)；
（2）結(jié)合小聰研究特殊問題的啟發(fā)，請解決數(shù)學老師布置的這道作業(yè)題；
（3）解決完老師布置的這道作業(yè)題后，小聰進一步思考，當點D和點A在直線BC的異側(cè)時，且∠ADB的度數(shù)與（1）中相同，則α，β滿足的條件為0°＜α＜180°，β=60°或120°＜α＜180°，α-β=120°（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）作輔助線構(gòu)建全等三角形，證明△ABD≌△ABD′得△BD′C是等邊三角形，再證明△AD′B≌△AD′C得∠AD′B=$\frac{1}{2}$∠BD′C=30°，則∠ADB=∠AD′B=30°；
（2）分兩種情況進行討論：第一種情況：當60°＜α≤120°時，利用全等先求∠ABC和∠ABD的度數(shù)，從而得∠ABD′和∠D′BC的度數(shù)，得到△BD′C是等邊三角形，根據(jù)（1）同理得出∠ADB=∠AD′B=30°；第二種情況：當0°＜α＜60°時，仍然按此過程求出∠ADB=∠AD′B=150°；
（3）分三種情況討論：第一種情況：如圖4，當120°＜α＜180°時，構(gòu)建等邊三角形D′BC，可知此時滿足α-β=120°時，∠ADB的度數(shù)與（1）相同為30°；第二種情況：如圖5，當0°＜α＜120°時，當△BDC是等邊三角形時，即滿足β=60°時，∠ADB的度數(shù)與（1）相同為30°；第三種情況：如圖6，當120°＜α＜180°時，構(gòu)建等邊三角形DBC，與第二種情況一樣，即滿足β=60°時，∠ADB的度數(shù)與（1）相同為30°．

解答 解：（1）如圖1

作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，連接CD′，AD′，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°，
∵AB=AB，∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，
∴△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，
∵BD=BD′，BD=BC，
∴BD′=BC，
∴△D′BC是等邊三角形，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，
∵AB=AC，AD'=AD'，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B=$\frac{1}{2}$∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°，
（2）解：第一種情況：當60°＜α≤120°時，

如圖2，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，連接CD′，AD′，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{α}{2}$，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-$\frac{α}{2}$-β，
同（1）可證△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°-$\frac{α}{2}$-β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°-$\frac{α}{2}-β+90°-\frac{α}{2}$=180°-（α+β），
∵α+β=120°，
∴∠D′BC=60°，
以下同（1）可求得∠ADB=30°，
第二種情況：當0°＜α＜60°時，
如圖3，

作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，連接CD′，AD′．同理可得：∠ABC=$\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{α}{2}$，
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=$β-（90°-\frac{α}{2}）$，
同（1）可證△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=$β-（90°-\frac{α}{2}）$，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABC-∠ABD′=90°-$\frac{α}{2}-[β-（90°-\frac{α}{2}）]=180°-（α+β）$，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．
同（1）可證△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，
∴∠ADB=∠AD′B=150°，
（3）點D和點A在直線BC的異側(cè)時，分三種情況討論：
第一種情況：如圖4，
當120°＜α＜180°時，連接CD′，
同理構(gòu)建△ABD′≌△ABD，
∴∠DBA=∠D′BA，
同理可知：∠CBA=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠DBA=90°-$\frac{1}{2}$α+β，
∴∠DBA=∠D′BA=90°-$\frac{1}{2}$α+β，
∴∠CBD′=90°-$\frac{1}{2}$α+90°-$\frac{1}{2}$α+β=180°-α+β，
∵BD=BD′=BC，
∴當△D′BC為等邊三角形時，∠AD′B=∠ADB=30°，
即180°-α+β=60°，
∴α-β=120°；
第二種情況：如圖5，
當0°＜α＜120°時，連接CD，
∵BD=BD′=BC，
與圖4同理可知：當△BDC是等邊三角形時，
即β=60°，
此時△ABD≌△ACD，
則∠ADB=∠ADC=30°，
第三種情況：如圖6，
當120°＜α＜180°時，連接CD，
同理構(gòu)建△ABD′≌△ABD，
∵BD=BD′=BC，
當△BDC是等邊三角形時，
即β=60°，
此時△ABD≌△ACD，
則∠ADB=∠ADC=30°，
綜上所述，當滿足0°＜α＜180°，β=60°或120°＜α＜180°，α-β=120°時，∠ADB=30°；
故答案為：0°＜α＜180°，β=60°或120°＜α＜180°時，α-β=120°．

點評 本題是幾何變換的綜合題，考查了等腰三角形、全等三角形、等邊三角形邊和角的關(guān)系；在等腰三角形中，已知一個角的度數(shù)，就能表示另外兩個角的度數(shù)；同時本題還運用了分類討論的思想，這在數(shù)學解題中是一個難點．