Question

已知直線l與x軸、y軸分別交于A（2，0）、B（0，2）兩點，雙曲線（k＞0）在第一象限的一支與AB不相交，過雙曲線上一點P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，分別交AB于E、F．
（1）如果S_△EOF=，PM=，求雙曲線的解析式；
（2）當P在（1）中雙曲線上移動，∠EOF的大小始終為45°不變，此時，雙曲線上存在這樣的點P，使OE=OF，求出此時點P的坐標．

Answer 1

解：（1）設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（2，0）、B（0，2），
∴，解得，
∴此直線的解析式為y=-x+2，
∵點E在直線l上，
∴設E（a，-a+2），
∵S_△EOF=，PM=，PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
∴S_△EOF=S_△AOF-S_△AOE=OA•PM-OA•ME
=×2×-×2×（-a+2）
=+a-2=，
解得a=，
∴E（，），
∴P（，），
∵點P在雙曲線y=上，
∴k=×=2，
∴拋物線的解析式為：y=；

（2）如圖所示，過點O作OD⊥AB于點D，
∵OB=OA，
∴BD=AD，
∴當OE=OF時DE=DF，
∴BF=AE，
∵△BNF與△AME均是等腰直角三角形，
∴BN=NF=ME=AM，
∴ON=OM，即四邊形NOMP是正方形，
設P（x，x），則x=，解得x=或x=-（舍去），
∴P（，）．
分析：（1）先用待定系數法求出直線l的解析式，設出E點坐標，再根據S_△EOF=S_△AOF-S_△AOE即可得出E點坐標，進而得出P點坐標，把P點坐標代入雙曲線y=即可得出結論；
（2）過點O作OD⊥AB于點D，因為OB=OA，故BD=AD，當OE=OF時可得DE=DF，故可得出BF=AE，再根據△BNF與△AME均是等腰直角三角形可知BN=NF=ME=AM，故ON=OM，即四邊形NOMP是正方形，設P（x，x），代入（1）中反比例函數的解析式即可得出x的值，進而得出結論．
點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數及反比例函數的解析式、等腰三角形的性質等知識，難度適中．