Question

將?OABC放置在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知AB邊所在直線的函數(shù)解析式為：y=-x+4．若將?OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得OBDE，BD交OC于點(diǎn)P．
（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)是

 

：
（2）求△OBP的面積；
（3）若再將四邊形OBDE沿y軸正方向平移，設(shè)平移的距離為x（0≤x≤8），與?OABC重疊部分周長(zhǎng)為L(zhǎng)，試求出L關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由AB邊所在直線的解析為：y=-x+4，即可求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，又由四邊形OABC是平行四邊形，即可求得BC=OA=4，則可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）易證得△OBP是等腰直角三角形，又由BO=4，即可求得△OBP的面積；
（3）分別從當(dāng)0≤x＜4時(shí)與當(dāng)4≤x≤8時(shí)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)即可求得答案．

解答：解：（1）∵AB邊所在直線的解析為：y=-x+4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（0，4），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=OA=4，BC∥OA，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（-4，4）；
故答案為：（-4，4）；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：OD=OB=4，
∵∠BOD=90°，
∴∠OBD=45°，
∵OB=BC，∠OBC=90°，
∴∠BOC=45°，
∴∠OPB=90°，BP=OP，
∵OB=4，
∴OP=BP=2

2

，
∴S_△OBP=

1

2

OP•BP=4；

（3）分兩種情況考慮：
①當(dāng)0≤x≤4時(shí)，如圖1所示，可得△CPH，△HBG與△FKO都為等腰直角三角形，
∴GB=OF，PH=PC，KF=OK，
此時(shí)重合部分五邊形PHBFK的周長(zhǎng)L=BH+HP+PK+KF+BF=GB+CP+PK+KO=BF=OC+FG=OC+OB=4+4

2

；
②當(dāng)4≤x≤8時(shí)，如圖2所示，此時(shí)△CPH與△BHF都為等腰直角三角形，
∴FB=HB=BG-GF=x-4，CH=CB-HB=4-（x-4）=8-x，CP=PH=

2

2

（8-x），
此時(shí)重合部分△CHP的周長(zhǎng)L=CH+CP+PH=8-x+2×

2

2

（8-x）=8+8

2

-

2

x-x，
綜上，L=

4+4 2 (0≤x≤4) 8+8 2 - 2 x-x(4≤x≤8)

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：等腰三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，以及平移的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．