Question

2．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，∠OAB=30°，OA=3，則陰影部分面積為9$\sqrt{3}$-3π．

Answer 1

分析 根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，根據(jù)切線的性質(zhì)可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度數(shù)，進(jìn)一步求得∠APB的度數(shù)，然后根據(jù)陰影部分的面積等于四邊形OAPB的面積減去扇形AOB的面積即可求得．

解答 解：∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，
∴∠AOB=180°-2×30°=120°，
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∴在四邊形OAPB中，∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．
連接OP．
根據(jù)切線長(zhǎng)定理得∠APO=30°，
∴OP=2OA=6，AP=OP•cos30°=3$\sqrt{3}$，∠AOP=60°．
∴四邊形的面積=2S_△AOP=2×$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$；扇形的面積是$\frac{120π×{3}^{2}}{360}$=3π，
∴陰影部分的面積是9$\sqrt{3}$-3π．
故答案為9$\sqrt{3}$-3π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線長(zhǎng)定理、切線的性質(zhì)定理以及30°的直角三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是熟練運(yùn)用扇形的面積計(jì)算公式，能夠把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積計(jì)算．．