Question

【題目】已知，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，垂足為O.

(1)如圖①，連接AF，CE，試說明四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；

(2)如圖②，動點(diǎn)P，Q分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動過程中，已知點(diǎn)P的速度為5 cm/s，點(diǎn)Q的速度為4 cm/s，運(yùn)動時(shí)間為t s，當(dāng)以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）AF＝5 cm；（2）t＝.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件易證OA＝OC，OE＝OF，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可判定四邊形AFCE為平行四邊形；再由EF⊥AC，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，即可判定四邊形AFCE為菱形；設(shè)AF＝CF＝x cm，則BF＝(8－x)cm，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求得x的值，即可求得AF的長；（2）當(dāng)P點(diǎn)在AF上，Q點(diǎn)在CD上時(shí)，A，C，P，Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；同理P點(diǎn)在AB上，Q點(diǎn)在DE或CE上時(shí)，也不可能構(gòu)成平行四邊形．因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，如圖，連接AP，CQ，則以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時(shí)PC＝QA，用t表示出PC、QA的長，列出方程求t即可.

試題解析：

(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC.

∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE.

∵EF垂直平分AC，垂足為O，

∴OA＝OC.

∴△AOE≌△COF.

∴OE＝OF.

∴四邊形AFCE為平行四邊形．

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE為菱形．

設(shè)AF＝CF＝x cm，則BF＝(8－x)cm，

在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.

∴AF＝5 cm.

(2)顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上，Q點(diǎn)在CD上時(shí)，A，C，P，Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；同理P點(diǎn)在AB上，Q點(diǎn)在DE或CE上時(shí)，也不可能構(gòu)成平行四邊形．因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，如圖，連接AP，CQ，則以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時(shí)PC＝QA.∵點(diǎn)P的速度為5 cm/s，點(diǎn)Q的速度為4 cm/s，運(yùn)動時(shí)間為t s，

∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.∴5t＝12－4t，解得t＝.

∴以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t＝.