如圖,在直角坐標(biāo)系中,以點M(3,0)為圓心,以6為半徑的圓分別交x軸的正半軸于點A,交x軸的負半軸交于點B,交y軸的正半軸于點C,過點C的直線交x軸的負半軸于點D(-9,0)
(1)求A,C兩點的坐標(biāo);
(2)求證:直線CD是⊙M的切線;
(3)若拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過M,A兩點,求此拋物線的解析式;
(4)連接AC,若(3)中拋物線的對稱軸分別與直線CD交于點E,與AC交于點F.如果點P是拋物線上的動點,是否存在這樣的點P,使得S△PAM:S△CEF=:3?若存在,請求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.(注意:本題中的結(jié)果均保留根號)

【答案】分析:(1)已知了M的坐標(biāo)和圓的半徑即可求出A點坐標(biāo),連接MC可在直角三角形OMC中,用勾股定理求出OC的長,即可得出C點的坐標(biāo).
(2)連接MC,證MC⊥CD即可.根據(jù)OD的長和OC的長,不難得出∠ODC=30°,同理可在直角三角形OCM中,求出∠OMC=60°,由此可得出∠DCM=90°,由此可得證.
(3)將M、A的坐標(biāo)代入拋物線中求解即可.
(4)本題可先求出三角形CEF的面積,然后根據(jù)兩三角形的面積比求出三角形PAM的面積,由于AM是定值,根據(jù)三角形PAM的面積即可求出P點的縱坐標(biāo)的絕對值,代入拋物線中即可求出P點的坐標(biāo).
解答:解:(1)連接CM,由題意得:OM=3,OB=3,OE=9,MC=6
OA=OM+MA=3+6=9
A(9,0)
∵OC==3
∴C(0,

(2)證法一:
在Rt△DCO中,∵DC==6
在△DCM中,∵CM2+DC2=144
DM2=(DO+OM)2=(9+3)2=122=144
∴CM2+DC2=DM2
∴△DCM直角三角形.
∴MC⊥DC,而MC是⊙M的半徑
∴CD是⊙M的切線.
證法二:
在Rt△COM中,∵sin∠MCO==
∴∠MCO=30°
在Rt△DOC中,∵tan∠DCO===,
∴∠DCO=60°
∴∠DCM=∠MCO+∠DCO=90°
∴MC⊥DC,而MC中的⊙M半徑.

(3)由拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點M(3,0)和點A(9,0),可得:
解得:
∴拋物線的解析式為:y=x2-12x+27.

(4)存在
設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點H
在(2)中已證:
∴∠DCO=60°,∠CDO=30°
∵拋物線的對稱軸平行于y,
∴∠CEF=∠DCO=60°
∵OD=OA=9,
∴CO垂直平分AD
∴∠CAO=∠CDO=30°
在Rt△AFH中,∠AFH=60°
∴∠EFC=60°
∴△CEF是等邊三角形
過點C作CG⊥EF于點G,則CG=6
可得:EF=4,S△CEF=EF•CG=×4×6=12;
若點P在軸的上方,設(shè)點P坐標(biāo)為(x,y),S△PAM=AM•y=3y,S△PAM:S△CEF=:3
∴3y:12=:3,
解得:y=4.
當(dāng)y=4時,即x2-12x+27=4,解得x=6±
∴P(6-,4)或(6+,4).
②若點P在x軸上,則點P與點M或與點A重合,此時構(gòu)不成三角形.
③若點P在x軸下方,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y)
S△PAM=AM•(-y)=-3y,S△PAM:S△CEF=:3
∴-3y:12=:3
解得:y=-4
當(dāng)y=-4時,即x2-12x+27=-4,解得x=6±
∴P(6-,-4)或(6+,-4).
∴這樣的點共有4個,
∴P(6-,4)或(6+,4)或(6-,-4)或(6+,-4).
點評:本題考查了圓和二次函數(shù)的相關(guān)知識,難度較大.
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18、如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點A(-3,0),B(0,4),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形①、②、③、④…,則三角形⑦的直角頂點的坐標(biāo)為
(24,0)

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(1)在圖中畫出線段OP′;
(2)求P′的坐標(biāo)和
PP′
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6
x
的圖象經(jīng)過第一象限的點A,點A的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的
3
2
倍.
(1)求點A的坐標(biāo);
(2)如果經(jīng)過點A的一次函數(shù)圖象與x軸的負半軸交于點B,AC⊥x軸于點C,若△ABC的面積為9,求這個一次函數(shù)的解析式.
(3)點D在反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象上,且點D在直線AC的右側(cè),作DE⊥x軸于點E,當(dāng)△ABC與△CDE相似時,求點D的坐標(biāo).

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6
6
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(8052,0)
(8052,0)

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