【題目】如圖,在△ABC中,BD、BE分別是高和角平分線,點F在CA的延長線上,FH⊥BE交BD于G,交BC于H,下列結論:①∠DBE=∠F;②2∠BEF=∠BAF+∠C;③∠F=(∠BAC﹣∠C);④∠BGH=∠ABE+∠C.
其中正確的是( 。
A.①②③B.①③④C.①②③④D.①②④
【答案】C
【解析】
①根據BD⊥FD,FH⊥BE和∠FGD=∠BGH,證明結論正確;
②根據角平分線的定義和三角形外角的性質,證明結論正確;
③證明∠DBE=∠BAC-∠C,根據①的結論,證明結論正確;
④根據角平分線的定義和三角形外角的性質證明結論正確.
①∵BD⊥FD,
∴∠FGD+∠F=90°,
∵FH⊥BE,
∴∠BGH+∠DBE=90°,
∵∠FGD=∠BGH,
∴∠DBE=∠F,
①正確;
②∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∠BEF=∠CBE+∠C,
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C,
∠BAF=∠ABC+∠C,
∴2∠BEF=∠BAF+∠C,
②正確;
③∠ABD=90°-∠BAC,
∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC,
∵∠CBD=90°-∠C,
∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE,
由①得,∠DBE=∠F,
∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE,
∴∠F=(∠BAC﹣∠C)
③正確;
④∵∠AEB=∠EBC+∠C,
∵∠ABE=∠CBE,
∴∠AEB=∠ABE+∠C,
∵BD⊥FC,FH⊥BE,
∴∠FGD=∠FEB,
∴∠BGH=∠ABE+∠C,
④正確,
故選C.
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【題目】如圖,∠AOB=30°,M、N分別是邊OA、OB上的定點,P、Q分別是邊OB、OA上的動點,記∠AMP=∠1,∠ONQ=∠2,當MP+PQ+QN最小時,則關于∠1、∠2的數量關系正確的是( )
A.∠1+∠2=90°B.2∠2-∠1=30°
C.2∠1+∠2=180°D.∠1-∠2=90°
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【題目】已知關于x的一元二次方程mx2-2x+1=0.
(1)若方程有兩個實數根,求m的取值范圍;
(2)若方程的兩個實數根為x1,x2,且x1x2-x1-x2=,求m的值.
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【題目】問題背景:在△ABC中,∠B=2∠C,點D為線段BC上一動點,當AD滿足某種條件時,探討在線段AB、BD、CD、AC四條線段中,某兩條或某三條線段之間存在的數量關系.
例如:在圖1中,當AB=AD時,可證得AB=DC,現在繼續(xù)探索:
任務要求:
(1)當AD⊥BC時,如圖2,求證:AB+BD=DC;
(2)當AD是∠BAC的角平分線時,判斷AB、BD、AC的數量關系,并證明你的結論。
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,P是拋物線y=-x2+3x上一點,且在x軸上方,過點P分別向x軸、y軸作垂線,得到矩形PMON.若矩形PMON的周長隨點P的橫坐標m增大而增大,則m的取值范圍是_________.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx-3a經過A(-1,0),C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
(1)求此拋物線的表達式;
(2)已知點D(m,-m-1)在第四象限的拋物線上,求點D關于直線BC對稱的點D′的坐標;
(3)在(2)的條件下,連接BD.問在x軸上是否存在點P,使∠PCB=∠CBD?若存在,請求出P點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】暑假期間,兩位家長計劃帶領若干名學生去旅游,他們聯系了報價均為每人400元的兩家旅行社.經協(xié)商,甲旅行社的優(yōu)惠條件是:兩位家長全額收費,學生都按七折收費;乙旅行社的優(yōu)惠條件是:家長、學生都按八折收費假設這兩位家長帶領x名學生去旅游.
(1)如果設選擇甲旅行社所用的費用為元,選擇乙旅行社所用的費用為元.請寫出、與x的關系式.
(2)在(1)的前提下,請你幫助兩位家長根據所帶學生人數,選擇哪家旅行社合算.
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