Question

菱形ABCD中，如果AB²=BD•AC，則∠ABC的度數(shù)是

1. A.
   60°
2. B.
   30°
3. C.
   60°或120°
4. D.
   30°或150°

Answer 1

C
分析：首先設(shè)AB=a，由四邊形ABCD是菱形，即可求得OA²+OB²=AB²=a²，又由AB²=BD•AC，易求得OA•OB=a²，繼而求得OA+OB=a，則可知OA，OB是方程：x²-ax+a=0的解，繼而求得OA的值，然后利用特殊角的三角函數(shù)值，求得∠ABC的度數(shù)．
解答：解：設(shè)AB=a，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，
∴在Rt△AOB中，OA²+OB²=AB²=a²，
∵AB²=BD•AC=4OA•OB=a²，
∴OA•OB=a²，
∴（OA+OB）²=OA²+OB²+2OA•OB=a²+a²=a²，
∴OA+OB=a，
∴OA，OB是方程：x²-ax+a=0的解，
解得：x₁=，x₂=a，
當(dāng)OA=a時，sin∠ABO==，
∴∠ABO=30°，
∴∠ABC=2∠ABO=60°；
當(dāng)OA=a時，sin∠ABO==，
∴∠ABO=60°，
∴∠ABC=2∠ABO=120°．
∴∠ABC的度數(shù)是：60°或120°．
故選C．
點評：此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用．