Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，P是反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象上任意一點，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于點A、B．
（1）求證：線段AB為⊙P的直徑；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用圓周角定理的推論得出AB是⊙P的直徑即可；
（2）首先假設(shè)點P坐標(biāo)為（m，n）（m＞0，n＞0），得出OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，進(jìn)而利用三角形面積公式求出即可．

解答：（1）證明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所對的圓周角，
∴AB是⊙P的直徑．

（2）解：過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，
設(shè)點P坐標(biāo)為（m，n）（m＞0，n＞0），
∵點P是反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象上一點，
∴mn=12．
則OM=m，ON=n．
由垂徑定理可知，點M為OA中點，點N為OB中點，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S_△AOB=

1

2

BO•OA=

1

2

×2n×2m=2mn=2×12=24．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及三角形面積求法和圓周角定理推論等知識，熟練利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出OA，OB的長是解題關(guān)鍵．