Question

5．觀察下列等式：
閱讀下列材料：
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4），
由以上三個(gè)等式相加，可得1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20
讀完以上材料，請你計(jì)算下列各題，其中（1）需要寫出過程，其它試題直接寫出答案．
（1）1×2+2×3+3×4+…+6×7；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）1×2+2×3+3×4+3×4×5+…+6×7×8=746；
（4）1×2+2×3+3×4+3×4×5+…+n×（n+1）×（n+2）=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）-10．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目信息列出算式，然后提取$\frac{1}{3}$，進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）觀察不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的積等于這兩個(gè)數(shù)與后面的數(shù)的積減去與前面的數(shù)的積的$\frac{1}{3}$，然后列出算式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（3）1×2+2×3+3×4根據(jù)（2）的規(guī)律列式進(jìn)行計(jì)算，3×4×5+…+6×7×8可補(bǔ)上1×2×3+2×3×4，然后類比（2）中結(jié)論計(jì)算，再減去之前補(bǔ)上的1×2×3+2×3×4，總體列式計(jì)算可得；
（4）類比（3）中相同做法列式計(jì)算．

解答 解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11，
=$\frac{1}{3}$×（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$×（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$×（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$×（6×7×8-5×6×7），
=$\frac{1}{3}$×（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+6×7×8-5×6×7），
=$\frac{1}{3}$×6×7×8，
=112；
（2）∵1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5，
∴1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）1×2+2×3+3×4+3×4×5+…+6×7×8
=$\frac{1}{3}$×3×4×5+$\frac{1}{4}$×6×7×8×9-$\frac{1}{4}$×2×3×4×5
=20+756-30
=746；
（4）1×2+2×3+3×4+3×4×5+…+n×（n+1）×（n+2）
=$\frac{1}{3}$×3×4×5+$\frac{1}{4}$×n×（n+1）×（n+2）×（n+3）-$\frac{1}{4}$×2×3×4×5
=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）-10．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，難度較大，利用類比的思想求解即可，觀察出（2）的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．