Question

對(duì)于平面上給定的25個(gè)點(diǎn)，如果其中任何3個(gè)點(diǎn)中都有某兩個(gè)點(diǎn)的距離小于1，那么在這些給定的點(diǎn)中，一定可以找到13個(gè)點(diǎn)，這13個(gè)點(diǎn)都位于一個(gè)半徑為1的圓內(nèi)．

Answer 1

分析：在給定的25個(gè)點(diǎn)，根據(jù)任何3個(gè)點(diǎn)中都有某兩個(gè)點(diǎn)的距離小于1，構(gòu)造抽屜，并結(jié)合反證法解決問(wèn)題．

解答：解：在給定的25個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)，記為A，以A為圓心，1為半徑作圓，若⊙A蓋住所有的點(diǎn)，則結(jié)論成立；
若不然，則至少有一點(diǎn)B不在圓內(nèi)，再以B為圓心，1為半徑做圓，則所給的25個(gè)點(diǎn)中的任意一點(diǎn)要么在⊙A內(nèi)，要么在⊙B內(nèi)，
否則，至少有一點(diǎn)C既不在⊙A內(nèi)，又不在⊙B內(nèi)，這樣，所得三點(diǎn)A、B、C的連線(xiàn)AB、AC、BC的長(zhǎng)都大于1，即在A、B、C三點(diǎn)中無(wú)兩點(diǎn)距離小于1，與題設(shè)矛盾，因此⊙A、⊙B就可以蓋住這25個(gè)點(diǎn)．
把⊙A、⊙B作為兩個(gè)抽屜，把25個(gè)點(diǎn)放進(jìn)去，因?yàn)?5=12×2+1，由抽屜原理可知，至少有一個(gè)圓內(nèi)有12+1=13個(gè)點(diǎn)都位于一個(gè)半徑為1的圓內(nèi)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽屜原理的知識(shí)點(diǎn)，并結(jié)合反證法解答問(wèn)題．（此題符合面積重疊原則）