Question

17、如圖，對(duì)面積為1的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：第一次操作，分別延長(zhǎng)AB，BC，CA至點(diǎn)A₁，B₁，C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，順次連接A₁，B₁，C₁，得到△A₁B₁C₁，記其面積為S₁；第二次操作，分別延長(zhǎng)A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁至點(diǎn)A₂，B₂，C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，順次連接A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，記其面積為S₂；…；按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到△A₅B₅C₅，則其面積S₅=

19⁵

．

Answer 1

分析：根據(jù)高的比等于面積比推理出△A₁B₁C的面積是△A₁BC面積的2倍，則△A₁B₁B的面積是是△A₁BC面積的3倍…，以此類(lèi)推，得出△A₂B₂C₂的面積．

解答：解：連接A₁C，根據(jù)A₁B=2AB，得到：AB：A₁A=1：3，
因而若過(guò)點(diǎn)B，A₁作△ABC與△AA₁C的AC邊上的高，則高線(xiàn)的比是1：3，
因而面積的比是1：3，則△A₁BC的面積是△ABC的面積的2倍，
設(shè)△ABC的面積是a，則△A₁BC的面積是2a，
同理可以得到△A₁B₁C的面積是△A₁BC面積的2倍，是4a，
則△A₁B₁B的面積是6a，
同理△B₁C₁C和△A₁C₁A的面積都是6a，
△A₁B₁C₁的面積是19a，
即△A₁B₁C₁的面積是△ABC的面積的19倍，
同理△A₂B₂C₂的面積是△A₁B₁C₁的面積的19倍，
即△A₁B₁C₁的面積是19，△A₂B₂C₂的面積19²，
依此類(lèi)推，△A₅B₅C₅的面積是S₅=19⁵=2476099．

點(diǎn)評(píng)：正確判斷相鄰的兩個(gè)三角形面積之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，本題的難度較大．