Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
（1）請寫出四個不同類型的正確結論；
（2）連接CD，設∠CDB=α，∠ABC=β，試找出α與β之間的一種關系式，并予以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，本題滿足垂徑定理．
（2）根據(jù)四邊形ACDB為圓內接四邊形，可以得到α-β=90°，再根據(jù)∠CDO=∠ODB=∠CDB得到α＞2β．
解答：解：（1）不同類型的正確結論有：
①BE=CE；
②BD=CD；
③∠BED=90°；
④∠BOD=∠A；
⑤AC∥OD；
⑥AC⊥BC；
⑦OE²+BE²=OB²；
⑧S_△ABC=BC•OE；
⑨△BOD是等腰三角形；
⑩△BOE∽△BAC；等等．
（說明：1．每寫對一條給（1分），但最多只給（4分）；
（結論與輔助線有關且正確的，也相應給分）．

（2）α與β的關系式主要有如下兩種形式，請參照評分：
①答：α與β之間的關系式為：α-β=90°（5分）
證明：∵AB為圓O的直徑
∴∠A+∠ABC=90°①（6分）
又∵四邊形ACDB為圓內接四邊形
∴∠A+∠CDB=180°②（7分）
∴②-①得：∠CDB-∠ABC=90°
即α-β=90°（8分）
（說明：關系式寫成α=90°+β或β=α-90°的均參照給分．）
②答：α與β之間的關系式為：α＞2β（5分）
證明：∵OD=OB
∴∠ODB=∠OBD
又∵∠OBD=∠ABC+∠CBD
∴∠ODB＞∠ABC（6分）
∵OD⊥BC，
∴CD=BD
∴∠CDO=∠ODB=∠CDB（7分）
∴∠CDB＞∠ABC
即α＞2β．（8分）
（說明：若得出α與β的關系式為α＞β，且證明正確的也給滿分．）
點評：本題考查了圓的一些基本性質，且有一定的開放性，第（1）小題只需根據(jù)已知的結論進行簡單的推理即可得出不少不同類型的結論；第（2）題還考查了學生的方程思想，運用代數(shù)知識解幾何問題．