Question

【題目】如圖所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圓，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=1，連接DA，點(diǎn)P是射線DA上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證DA是⊙O的切線；
（2）DP的長(zhǎng)度為多少時(shí)，∠BPC的度數(shù)最大，最大度數(shù)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，（PB+PC）的值能否達(dá)到最小，若能，求出這個(gè)最小值，若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

連接AO，

∵∠=30°，

∴∠AOB=2∠C=60°

∴△ABO是等邊三角形，AB=BD=1，

∴∠ADC=∠DAB= ∠ABO=30°，

∵∠AOC=60°，

∴∠DAO=90°，

∴DA是⊙O的切線

（2）解：如圖1，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A處時(shí)，

即DP=DA= 時(shí)，∠BPC的度數(shù)達(dá)到最大，為90°．

理由如下：若點(diǎn)P不在A處時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上的時(shí)，

連接BP，與⊙O交于一點(diǎn)，記為點(diǎn)E，

連接CE，

則∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°

（3）解：如圖2，

作點(diǎn)C關(guān)于射線DA的對(duì)稱點(diǎn)C′，

則BP+PC=BP+PC′，

當(dāng)點(diǎn)C′，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，（BP+PC′）的值達(dá)到最小，最小值為BC′．

過(guò)點(diǎn)C′作DC的垂線，垂足記為點(diǎn)H，連接DC′，

在Rt△DCP中，∠PDC=30°，

∴△DCC′為等邊三角形，

故H為DC的中點(diǎn)，

∴BH=DH﹣DB= CD﹣DB= ﹣1= ，C'H= DH=

在Rt△BC'H中，根據(jù)勾股定理得，BC'= = ．

∴（BP+PC）的最小值為 ．

【解析】（1）先判斷出△ABO是等邊三角形，進(jìn)而得出∠ADC=30°，即可得出∠DAO=90°即可得出結(jié)論；（2）判斷出∠BPC最大時(shí)的點(diǎn)P的位置；（3）利用對(duì)稱性確定出PB+PC=BC'利用勾股定理計(jì)算即可．