Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O、AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC=PE．試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】直線PC與⊙O相切.證明見解析.

【解析】試題分析：連結(jié)OC，由PC=PE得∠PCE=∠PEC，利用三角形外角性質(zhì)得∠PEC=∠A+∠ACE=∠A+45°，加上∠A=90°-∠ABC，∠ABC=∠OCB，于是可得到∠PCE=90°-∠OCB+45°=90°-（∠OCE+45°）+45°，則∠OCE+∠PCE=90°，于是根據(jù)切線的判定定理可得PC為⊙O的切線

試題解析：直線PC與⊙O相切.

理由：連接OC

∵PC=PE

∴∠PCE=∠PEC

∴∠PCB+∠BCE=∠ACE+∠CAE

∵CD平分∠ACB

∴∠BCE=∠ACE

∴∠PCB=∠CAE

∵AB為直徑

∴∠ACB=90°

∴∠CAE+∠CBA=90°

∴∠PCB+∠CBA=90°

∵OC=OB

∴∠OCB=∠CBA

∴∠PCB+∠OCB =90°,即∠OCP=90°

∴直線PC與⊙O相切.