Question

如圖，已知：?ABCD中，∠ABC的平分線BG，交AD于G，∠BCD的平分線CE，交BG于F，交AD于E．
（1）求證：BG⊥CE．
（2）若AB=3，BC=4，求EG的長．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質以及平行四邊形的性質得出∠CBG+∠BCE=90°，進而得出BG⊥CE；
（2）根據(jù)角平分線的性質以及平行四邊形的性質得出∠ABG=∠CBG，則∠AGB=∠ABG，進而求出GD，AE的長，即可得出EG的長．

解答：（1）證明：∵?ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵BG、CE分別是∠ABC和∠BCD的角平分線，
∴∠ABG=∠CBG，∠BCE=∠DCE，
又∵∠ABG+∠CBG+∠BCE+∠DCE=180°，
∴∠CBG+∠BCE=90°，
在△BCF中，∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=90°
即BG⊥CE；
       
（2）解：∵?ABCD，
∴AD∥BC，AB=CD=3，AD=BC=4，
∴∠AGB=∠CBG，
又∵BG是∠ABC的角平分線，
∴∠ABG=∠CBG，
∴∠AGB=∠ABG，
∴AB=AG=3，
∴GD=AD-AG=4-3=1，
同理：AE=1，
∴EG=AD-AE-GD=4-1-1=2．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質和角平分線的性質等知識，得出∠AGB=∠ABG是解題關鍵．