Question

如圖所示，已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，D在拋物線上，且AD平行x軸，交y軸于點(diǎn)F，AB的中點(diǎn)E在x軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)P（a，b）在拋物線上運(yùn)動(dòng)．（點(diǎn)P異于點(diǎn)O）

（1）求此拋物線的解析式．

（2）過(guò)點(diǎn)P作CB所在直線的垂線，垂足為點(diǎn)R，

①求證：PF=PR；

②是否存在點(diǎn)P，使得△PFR為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

③延長(zhǎng)PF交拋物線于另一點(diǎn)Q，過(guò)Q作BC所在直線的垂線，垂足為S，試判斷△RSF的形狀．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=﹣x²（2）①證明見(jiàn)解析②（2，﹣3）、（﹣2，﹣3）③直角三角形

【解析】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，∴A、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱。

∵E是AB的中點(diǎn)，∴O是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)。

又∵B（2，1），∴A（2，﹣1）、D（﹣2，﹣1）。

∵拋物線的頂點(diǎn)為（0，0），∴可設(shè)其解析式為：y=ax²，則有：4a=﹣1，a=﹣。

∴拋物線的解析式為：y=﹣x²。

（2）①證明：由拋物線的解析式知：P（a，﹣a²），而R（a，1）、F（0，﹣1），

則：PF=

PR=，

∴PF=PR。

②∵RF=，∴若△PFR為等邊三角形，則由①得RF=PF=PR，得：

=，即：a⁴﹣8a²﹣48=0，得：a²=﹣4（舍去），a²=12。

∴a=±2，﹣a²=﹣3。

∴存在符合條件的P點(diǎn)，坐標(biāo)為（2，﹣3）、（﹣2，﹣3）。

③同①可證得：QF=QS。

在等腰△SQF中，∠1=（180°﹣∠SQF）。

同理，在等腰RPF中，∠2=（180°﹣∠RPF）。

∵QS⊥BC、PR⊥BC，∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°。

∴∠1+∠2=（360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°

∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形。

（1）根據(jù)題意能判斷出點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，因此D、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，得到A、D的坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式。

（2）①首先根據(jù)拋物線的解析式，用一個(gè)未知數(shù)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PF、RF的長(zhǎng)，兩者進(jìn)行比較即可得證。

②首先表示RF的長(zhǎng)，若△PFR為等邊三角形，則滿足PF=PR=FR，列式求解即可。

③根據(jù)①的思路，不難看出QF=QS，若連接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°減去這個(gè)和值即可判斷出△RSF的形狀。