Question

17、以△ABC的AB、AC為邊分別作正方形ADEB、ACGF，連接DC、BF：
（1）CD與BF相等嗎？請說明理由．
（2）CD與BF互相垂直嗎？請說明理由．
（3）利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，在此題中，△ADC可看成由哪個(gè)三角形繞哪點(diǎn)旋轉(zhuǎn)多少角度得到的．

Answer 1

分析：（1）要求兩條線段的長度關(guān)系，把兩條線段放到兩個(gè)三角形中，利用三角形的全等求得兩條線段相等．
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)前后的三角形全等，可知對應(yīng)邊相等，即BF=CD，利用互余關(guān)系可證BF⊥CD．
（3）因?yàn)锳D=AB，AC=AF，∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，故△ABF可看作△ADC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．

解答：解：（1）DC=BF．
理由：在正方形ABDE中，AD=AB，∠DAB=90°，
又在正方形ACGF，AF=AC，∠FAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC=90°，
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，
∠FAB=∠FAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠FAB，
∴△DAC≌△FAB，
∴DC=FB．

（2）BF⊥CD．
∵△ABF和△ADC可以通過旋轉(zhuǎn)而相互得到，旋轉(zhuǎn)中心是A，旋轉(zhuǎn)角為90°，
∴BF⊥CD．

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得：AD=AB，AC=AF，
∠DAB=∠CAF=90°，
∴∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，
∴△DAC≌△BAF（SAS），
故△ABF可看作△ADC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及三角形全等的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)圖形中兩個(gè)三角形的位置關(guān)系解題．