Question

已知拋物線y=x²+（2a-1）x+a²+3a+與x軸交于點A（x₁，0），B（x₂，0）．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）令S=x₁²+x₂²，求S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意得出拋物線和x軸有兩個交點，即b²-4ac＞0，從而得出的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得出x₁+x₂，與x₁•x₂，再由完全平方公式的變形即可得出S的取值范圍．
解答：解：（1）∵拋物線y=x²+（2a-1）x+a²+3a+與x軸交于點A（x₁，0），B（x₂，0）．
∴b²-4ac＞0，
即（2a-1）²-4（a²+3a+）＞0，
解得a＜-1．

（2）設方程x²+（2a-1）x+a²+3a+=0的兩根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=1-2a，x₁•x₂=a²+3a+，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（1-2a）²-2（a²+3a+）=2（a-）²-20，
∵a＜-1，
∴（a-）²＞，
∴2（a-）²-20＞，
即S＞．
點評：本題考查了拋物線和軸的交點問題，以及一元二次方程與二次函數(shù)的關系、完全平方公式的應用，是中考壓軸題，難度較大．