Question

如圖，將一張邊長為a、b（a＞b）的矩形紙片ABCD折疊．使點C與點A重合，則折痕EF的長為

 

．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：連結(jié)AE，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EF垂直平分AC，即OA=OC，∠AOE=90°，則EA=EC，設(shè)AE=x，則EC=x，BE=BC-x=a-x，在Rt△ABE中根據(jù)勾股定理可計算出x，在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理可計算出AC，在Rt△AOE中利用勾股定理可計算出OE；易證得△AOF≌△COE，得到OE=OF，則EF=2OE．

解答：解：如圖，連結(jié)AE，
∵矩形折疊后點C與點A重合，
∴EF垂直平分AC，即OA=OC，∠AOE=90°，
∴EA=EC，
設(shè)AE=x，則EC=x，BE=BC-x=a-x，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，即b²+（a-x）²=x²，
解得x=

a2+b2

2a

，
在Rt△ABC中，AC=

a2+b2

，
∴OA=

a2+b2

2

，
在Rt△AOE中，OE=

AE2-OA2

=

b a2+b2

2a

，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
在△AOF和△COE中，

∠FAO=∠ECO  ∠AOF=∠COE  OA=OC

，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OE=OF，
∴EF=2OF=

b a2+b2

a

．
故答案為：

b a2+b2

a

．

點評：本題考查折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；對應(yīng)點的連線段被折痕垂直平分．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．