Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線 在第一象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，且隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也在不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線 上運(yùn)動(dòng)，則k的值是 ．

Answer 1

【答案】﹣3
【解析】解：∵雙曲線 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， ∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴OA=OB，
連接OC，如圖所示，
∵△ABC是等邊三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°，
∴tan∠OAC= = ，
∴OC= OA，
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF，
∴△OFC∽△AEO，相似比 ，
∴面積比 ，
∵點(diǎn)A在第一象限，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b），
∵點(diǎn)A在雙曲線 上，
∴S△AEO= ab= ，
∴S△OFC= FCOF= ，
∴設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），
∵點(diǎn)C在雙曲線 上，
∴k=xy，
∵點(diǎn)C在第四象限，
∴FC=x，OF=﹣y．
∴FCOF=x（﹣y）=﹣xy=﹣ ，
所以答案是：﹣3 ．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．