Question

7．已知：y=ax²-4ax交x軸于O、A兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，若△AOD的面積為4．點(diǎn)P是x軸上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作PH⊥x軸，垂足為H，連接PA，作直線HQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，
（1）求a的值．
（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接QD，若∠PAO=∠QDE，求HE的長(zhǎng)度．
（3）點(diǎn)Q關(guān)于AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)K，若2HA=$\sqrt{10}$QH，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及KE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形面積公式求出點(diǎn)D坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式即可求出a．
（2）如圖1中，設(shè)點(diǎn)P（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m），求出直線PA，HQ的解析式，得到點(diǎn)Q坐標(biāo)（0，-2），根據(jù)tan∠QDE=tan∠PAO=$\frac{1}{2}$，列出方程即可解決問(wèn)題．
（3）設(shè)QH交PA于點(diǎn)F，作FN⊥AO于N，由△OQH∽△FAH，以及在RT△OQH中利用勾股定理，想辦法求出點(diǎn)F、點(diǎn)K坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）令y=0，則ax²-4ax=0，x=0或4．
∴$\frac{1}{2}$•OA•DE=4，
∴DE=2，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（2，2）代入y=ax²-4ax，2=4a-8a，
∴a=-$\frac{1}{2}$．
（2）如圖1中，由（1）可知拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+2x，設(shè)點(diǎn)P（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m），
設(shè)直線PA為y=kx+b，把P（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m），A（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=-\frac{1}{2}{m}^{2}+2m}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}m}\\{b=2m}\end{array}\right.$，
∴直線PA為y=-$\frac{1}{2}$mx+2m，
∵直線QH⊥PA，設(shè)直線HQ為y=$\frac{2}{m}$x+b′，把H（m，0）代入得，b′=-2，
∴OQ=2，
∴tan∠QDE=tan∠PAO=$\frac{1}{2}$，
∴4-m=2（-$\frac{1}{2}$m²+2m）   m₁=1，m₂=4（舍）  
∴HE=1．
（3）設(shè)QH交PA于點(diǎn)F，作FN⊥AO于N．
∵∠HFA=∠HOQ，∠OHQ=∠FHA，
∴△OQH∽△FAH，
∴AF：OQ=AH：QH=$\sqrt{10}$：2，
∴AF=$\sqrt{10}$，設(shè)HQ=x，則AH=$\frac{\sqrt{10}}{2}$x，
在RT△OHQ中，2²+（4-$\frac{\sqrt{10}}{2}$x）²=x，解得x=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$（或2$\sqrt{10}$舍棄不合題意），
∴AH=$\frac{10}{3}$，OH=$\frac{2}{3}$，F(xiàn)H=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∵$\frac{1}{2}$•FH•FA=$\frac{1}{2}$•AH•FN，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{10}}{3}$×$\sqrt{10}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$×FN，
∴FN=1，HN=$\sqrt{F{H}^{2}-F{N}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∵點(diǎn)F坐標(biāo)（1，1），點(diǎn)Q（0，-2）
又∵K、Q關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)K坐標(biāo)（2，4），
∵點(diǎn)E坐標(biāo)（2，0）
∴KE=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)求線段，掌握利用面積法求高，記住中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中考?jí)狠S題．