Question

如圖，直線y=x-3交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，交雙曲線y=

2

x

于點(diǎn)D（D在第一象限），過D作兩坐標(biāo)軸的垂線DC、DE，連接OD．
（1）在不對圖形作任何變動的情況下，直接寫出圖形中的三個等腰直角三角形；
（2）求證：AD•BD=4；
（3）將直線AB沿x軸平移，是否存在直線AB，使得四邊形OBCD為平行四邊形？若存在，求直線的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線y=x-3與x軸所夾的銳角為45°，分析可發(fā)現(xiàn)三個等腰直角三角形；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可知，AD=

2

CD，BD=

2

DE，由于CD•DE=xy=2，由此可證AD•BD=4；
（3）當(dāng)點(diǎn)A為OC的中點(diǎn)時，四邊形OBCD為平行四邊形，設(shè)平移后的直線解析式為y=x-b，則OA=OB=AC=CD=b，D（2b，b），將D點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

2

x

中求b．

解答：解：（1）Rt△BOA，Rt△BED，Rt△ACD；

（2）∵△BED，△ACD為等腰直角三角形，
∴AD=

2

CD，BD=

2

DE，
∴AD•BD=

2

CD•

2

DE=2xy=2×2=4；

（3）存在．當(dāng)點(diǎn)A為OC的中點(diǎn)時，四邊形OBCD為平行四邊形．理由如下：
設(shè)平移后的直線解析式為y=x-b，
則OA=OB=AC=CD=b，D（2b，b），
將D點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

2

x

中，得2b²=2，解得b=1（舍去負(fù)值），
所以，直線解析式為y=x-1．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是掌握直線y=x-3與x軸所夾銳角為45°，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積為常數(shù)．