Question

如圖，在直角坐標系中，已知點P₀的坐標為（1，0），進行如下操作：將線段OP₀按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP₀的2倍，得到線段OP₁；又將線段OP₁按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂，如此重復操作下去，得到線段OP₃，OP₄，…，則：
（1）點P₅的坐標為______；
（2）落在x軸正半軸上的點P_n坐標是______，其中n滿足的條件是______．

Answer 1

解：（1）由圖可得P₅在第三象限的角平分線上，
∵OP₁=2¹，OP₂=2²，
∴OP₅=2⁵=32，
作P₅A⊥x軸，P₅B⊥y軸，
∴AO=OB=16，
∴點P₅的坐標為（-16，-16）；
故答案為（-16，-16）；

（2）由（1）可得落在x軸正半軸上的點P_n坐標是（2ⁿ，0），
∵每8個點循環(huán)一圈，
∴n滿足的條件是n=8k（k=0，1，2，…），
故答案為（2ⁿ，0），n=8k（k=0，1，2，…）．


分析：（1）易得P₅在第三象限的角平分線上，先得到OP₅的長度，進而判斷P₅的坐標即可；
（2）易得x軸正半軸上的點橫坐標與底數(shù)為2的冪相關，根據(jù)每8個點循環(huán)一圈可得n滿足的條件．
點評：考查坐標的旋轉問題；得到相應的旋轉規(guī)律及OP_n的長度的規(guī)律是解決本題的關鍵．