Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過(guò)C（2，0），D（0，﹣1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)E（0，﹣2）且平行于x軸，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）求證：AO=AM；
（3）探究：
①當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，求出此時(shí) + 的值；
②試說(shuō)明無(wú)論k取何值， + 的值都等于同一個(gè)常數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過(guò)C（2，0），D（0，﹣1），

∴ ，

解得 ，

所以，拋物線的解析式為y= x2﹣1；

（2）

證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m， m2﹣1），

則AO= = m2+1，

∵直線l過(guò)點(diǎn)E（0，﹣2）且平行于x軸，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為﹣2，

∴AM= m2﹣1﹣（﹣2）= m2+1，

∴AO=AM；

（3）

①k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，點(diǎn)A、B在x軸上，

∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，

∴ + = + =1；

②k取任何值時(shí)，設(shè)點(diǎn)A（x1， x12﹣1），B（x2， x22﹣1），

則 + = ，

聯(lián)立 ，

消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，

由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16k2+8，

x12x22=16，

∴ + = =1，

∴無(wú)論k取何值， + 的值都等于同一個(gè)常數(shù)1．

【解析】（1）把點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a、c，即可得解；（2）根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后求出AO、AM的長(zhǎng)，即可得證；（3）①k=0時(shí)，求出AM、BN的長(zhǎng)，然后代入 + 計(jì)算即可得解；②設(shè)點(diǎn)A（x1 ， x12﹣1），B（x2 ， x22﹣1），然后表示出 + ，再聯(lián)立拋物線與直線解析式，消掉未知數(shù)y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2 ， x12 ， 并求出x12+x22 ， x12x22 ， 然后代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．