(2013•婺城區(qū)一模)如圖1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,點P是邊AB上的一個動點(不與點A、點B重合),點Q在邊AD上,將△CBP和△QAP分別沿PC、PQ折疊,使B點與E點重合,A點與F點重合,且P、E、F三點共線.

(1)若點E平分線段PF,則此時AQ的長為多少?
(2)若線段CE與線段QF所在的平行直線之間的距離為2,則此時AP的長為多少?
(3)在“線段CE”、“線段QF”、“點A”這三者中,是否存在兩個在同一條直線上的情況?若存在,求出此時AP的長;若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)條件可以得出△AQP≌△FQP,△CPB≌△CPE,就可以得出PA=PF,PB=PE,由點E平分線段PF就可以得出EF=PE=PB,可以求出PB的值由三角形相似及可以AQ的值;
(2)由(1)的結(jié)論可以得出AP-PB=2,由AP+PB=4,以及EP-PF=2,PB-AP=2,解一個二元一次方程組解可以求出結(jié)論;
(3)如圖2,當CE與點A在同一直線上△AEP∽△ABC,設(shè)AP=x,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論;若CE與QE在同一直線上,如圖3,由AP=BP可以求出結(jié)論.
解答:解:(1)將△CBP和△QAP分別沿PC、PQ折疊,得到△QFP和△PCE,
∴△AQP≌△FQP,△CPB≌△CPE,
∴PA=PF,PB=PE,∠QPA=∠QPF,∠CPB=∠CPE.
∵點E平分線段PF,
∴EF=EP=PB.
∵AB=4,
∴PB=
4
3
,AP=
8
3

∵∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=180.
∴∠QPA+∠CPB=90°.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,
∴∠CPB+∠PCB=90°,
∴∠QPA=∠PCB,
∴△QAP∽△PBC,
QA
PB
=
AP
BC
,
QA
4
3
=
8
3
2

∴QA=
16
9
; 

(2)由題意,得
EP-PF=2.
∴PB-AP=2,
∵AP+PB=4,
∴2BP=6,
∴BP=3,
∴AP=1.
由題意,得
PF-EP=2.
∴AP-PE=2,
∵AP+PB=4,
∴2AP=6,
∴AP=3,
故AP的長為1或3;

(3)①若CE與點A在同一直線上,則
△AEP∽△ABC
AP
AC
=
PE
BC
,
設(shè)AP=x,
x
2
5
=
4-x
2

∴x=5-
5

②如圖3,若CE與QE在同一直線上,則
∴EP=AP=BP,
∴2AP=4,
∴AP=2.
點評:本題是一道四邊形綜合試題,考查了軸對稱的性質(zhì)的運用,相似三角形的判定及性質(zhì)的運用,解答本題時合理運用相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
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