已知:AB是⊙O的直徑,點C是⊙O外的一點,點E是AC上一點,AB=2.
(1)如圖1,點D是BC的中點,當DE也AC滿足什么關(guān)系時,DE是⊙O的切線?請說明理由.
(2)如圖2,AC是⊙O的切線,點E是AC的中點DE∥AB.①求的值;②求陰影部分的面積.

【答案】分析:(1)若DE是圓的切線,則連接OD,OD應(yīng)垂直于DE,再根據(jù)三角形的中位線定理得到OD∥AC,所以DE⊥AC,反之成立;
(2)①中,連接OD,根據(jù)平行線等分線段定理,得到D是BC的中點,根據(jù)平行線的性質(zhì)和切線的性質(zhì)得到DE⊥AC,結(jié)合(1)的結(jié)論,則DE也是圓的切線,從而得到OD⊥DE,根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形得到正方形AEDO,從而發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形AOD和ADB,根據(jù)AB=2,即可求得AD的長,進一步計算;
②中,陰影部分的面積顯然是正方形AEDO的面積減去扇形OAD的面積,根據(jù)①中的結(jié)論即可計算.
解答:解:(1)如圖所示,
當DE⊥AC時,DE是⊙O的切線(1分)
證明:連接OD
∵AB是⊙O的直徑
∴AO=OB
∵點D是BC的中點
∴BD=DC,
∴OD是△ACB的中位線,
∴OD∥AC   (2分)
∴DE⊥OD
即DE是⊙O的切線(3分)

(2)①∵AC為⊙O的切線
∴AC⊥AB
∵DE∥AB
∴DE⊥AC
∵點E是AC中點
∴點D是BC中點(4分)
∴OD⊥DE  (5分)
∵AO=OD
∴四邊形AODE是正方形(6分)
∵AB=2
∴AD=
===2-2   (8分)
②由圖形可知,S陰影=S正方形AODC-S扇形OAD∵S正方形=1×1=1平方單位(9分)
∵S扇形==平方單位(10分)
∴S陰影=1-平方單位(11分).
點評:此題綜合運用了三角形的中位線定理、切線的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì).
練習冊系列答案
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3
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3
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(2)求廣告牌CD的高度.
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2
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3
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3
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