Question

如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OC⊥AB，⊙O₁的直徑是OC，AD切⊙O₁于D，交OC的延長線于E，設(shè)⊙O₁的半徑為r=3，則DE=________．

Answer 1

4
分析：先連接O₁D，設(shè)DE=x，由于OC⊥AB，AE是切線，可知∠AOE=∠O₁DE=90°，結(jié)合∠E=∠E，易證△AOE∽△O₁DE，利用勾股定理可求O₁E，進而可求OE，利用相似三角形得出的比例線段，可得x：3=（+3）：6，求解即可．
解答：解：如右圖所示，連接O₁D，設(shè)DE=x，
∵OC⊥AB，AE是切線，
∴∠AOE=∠O₁DE=90°，
∵∠E=∠E，
∴△AOE∽△O₁DE，
∴DE：O₁D=OE：AO，
∴x：3=（+3）：6，
解得x₁=0（不合題意，舍去），x₂=4．
故答案是4．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、解方程．解題的關(guān)鍵是證明△AOE∽△O₁DE．