Question

如圖，已知等邊△ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h．在圖①中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，由S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC得，AB．h₁+AC．h₂=BC．h，可得h₁+h₂=h又因?yàn)閔₃=0，所以：h₁+h₂+h₃=h．
圖②～⑤中，點(diǎn)P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內(nèi)、△ABC外．
（1）請?zhí)骄浚簣D②～⑤中，h₁、h₂、h₃、h之間的關(guān)系；（直接寫出結(jié)論）
（2）說明圖②所得結(jié)論為什么是正確的；
（3）說明圖⑤所得結(jié)論為什么是正確的．

Answer 1

解：（1）②h_l+h₂+h₃=h；③h₁﹣h₂+h₃=h；④h₁+h₂+h₃=h；⑤h₁+h₂﹣h₃=h．
（2）圖②中，h₁+h₂+h₃=h．
連接AP，
則S_△APB+S_△APC=S_△ABC，
∴AB×h₁+AC×h₂=BC×h．
又h₃=0，AB=AC=BC，
∴h₁+h₂+h₃=h．
（3）圖⑤中，h₁+h₂﹣h₃=h．
連接PA、PB、PC，（如答圖）
則S_△APB+S_△APC=S_△ABC+S_△BPC．
∴ AB×h_l+AC×h₂=BC×h+BC×h₃
又AB=AC=BC，
∴h₁+h₂=h+h₃．
∴h₁+h₂﹣h₃=h．