Question

如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，有一點P，滿足兩個條件：△BCD與△PCD面積相等，且△ABP是等腰三角形，則以下四個命題正確的是

②③

．
①當(dāng)點P在正五邊形ABCDE的內(nèi)部時，滿足條件的點P有三個；
②當(dāng)點P在正五邊形ABCDE的邊上時，點P與點E重合；
③當(dāng)點P在正五邊形ABCDE的外部時，滿足條件的點P只有一個；
④在正五邊形ABCDE的平面內(nèi)，滿足條件的點P有五個．

Answer 1

分析：作直線BE，則求出B、E到CD的距離相等，根據(jù)三角形面積公式求出P和E重合時符合；作直線GH∥BE，且到直線CD的距離等于BM，作AB的垂直平分線，即可得出符合的兩個點，當(dāng)AB為腰時，求出符合的一個點，即可判斷各個答案．

解答：
解：過B作BM⊥CD于M，過E作EN⊥CD于N，
則∠BMC=∠END=90°，BM∥EN，
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴BC=FD，AB=AE，∠BCD=∠FDC，
∵∠BCM+∠BCD=180°，∠FDC+∠FDN=180°，
∴∠BCM=∠FDN，
在△BMC和△FND中

∠BCM=∠EDN ∠BMC=∠FND BC=ED

∴△BMC≌△END，
∴BM=EN，
∵BM∥EN，
∴四邊形BMNE是平行四邊形，
∴BM=EN，
即△BCD面積和△ECD面積相等，
∴當(dāng)P和E重合時，符合已知△BCD與△PCD面積相等，且△ABP是等腰三角形；
作直線GH∥CD，且直線CD和直線GH之間的距離是BM，作線段AB的垂直平分線交BE于P₂，交GH于P₃，此時的兩點符合已知△BCD與△PCD面積相等，且△ABP是等腰三角形；
以B為圓心，以AB為半徑作弧，交BE于P₄，此時符合已知△BCD與△PCD面積相等，且△ABP是等腰三角形；
∴當(dāng)點P在正五邊形ABCDE的內(nèi)部時，滿足條件的點P有二個，如有P₂，P₄，∴①錯誤；
當(dāng)點P在正五邊形ABCDE的邊上時，點P與點E重合，∴②正確；
當(dāng)點P在正五邊形ABCDE的外部時，滿足條件的點P只有一個，如有P₃，∴③正確；
在正五邊形ABCDE的平面內(nèi)，滿足條件的點P有2+1+1=4個，∴④錯誤；
故答案為：②③．

點評：本題考查了正多邊形的性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)，三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能求出符合條件的所有點是解此題的關(guān)鍵．