Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax ²－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC．

（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k、b用含a的式子表示）；

（2）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為  ，求a的值；

（3）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

 

Answer 1

（1）A（－1，0），y＝ax＋a；

（2）a＝－ ；

（3）P的坐標為（1，－ ）或（1，－4）

【解析】：

（1）A（－1，0）

∵直線l經(jīng)過點A，∴0＝－k＋b，b＝k

∴y＝kx＋k

令ax ²－2ax－3a＝kx＋k，即ax ²－( 2a＋k )x－3a－k＝0

∵CD＝4AC，∴點D的橫坐標為4

∴－3－  ＝－1×4，∴k＝a

∴直線l的函數(shù)表達式為y＝ax＋a

（2）過點E作EF∥y軸，交直線l于點F

設(shè)E（x，ax ²－2ax－3a），則F（x，ax＋a）

EF＝ax ²－2ax－3a－( ax＋a )＝ax ²－3ax－4a

S_△ACE ＝S_△AFE － S_△CFE

＝ ( ax ²－3ax－4a )( x＋1 )－ ( ax ²－3ax－4a )x

＝ ( ax ²－3ax－4a )＝  a( x－  )²－  a

∴△ACE的面積的最大值為－  a

∵△ACE的面積的最大值為

∴－  a＝  ，解得a＝－

（3）令ax ²－2ax－3a＝ax＋a，即ax ²－3ax－4a＝0

解得x₁＝－1，x₂＝4

∴D（4，5a）

∵y＝ax ²－2ax－3a，∴拋物線的對稱軸為x＝1

設(shè)P（1，m）

①若AD是矩形的一條邊，則Q（－4，21a）

m＝21a＋5a＝26a，則P（1，26a）

∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP＝90°

∴AD ²＋PD ²＝AP ²

∴5 ²＋( 5a )²＋( 1－4 )²＋( 26a－5a )²＝( －1－1 )²＋( 26a )²

即a ²＝  ，∵a＜0，∴a＝－

∴P₁（1，－ ）

②若AD是矩形的一條對角線

則線段AD的中點坐標為（ ，），Q（2，－3a）

m＝5a－( －3a )＝8a，則P（1，8a）

∵四邊形APDQ為矩形，∴∠APD＝90°

∴AP ²＋PD ²＝AD ²

∴( －1－1 )²＋( 8a )²＋( 1－4 )²＋( 8a－5a )²＝5 ²＋( 5a )²

即a ²＝  ，∵a＜0，∴a＝－

∴P₂（1，－4）

綜上所述，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形

點P的坐標為（1，－ ）或（1，－4）