Question

14．如圖，矩形ABCD中，AB=$\frac{1}{n}$AD（n為大于1的整數(shù)），作對角線BD的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，EF與BD的交點(diǎn)為O，連接BE和DF．
（1）試判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由；
（2）當(dāng)AB=a（a為常數(shù)），n=2時，求EF的長；
（3）記四邊形BEDF的面積為S₁，矩形ABCD的面積為S₂，當(dāng)$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{13}{25}$時，求n的值．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出AD∥BC，推出∠EDO=∠FBO，由ASA證明△DEO≌△BFO，推出OE=OF，得出平行四邊形BEDF，即可推出菱形BEDF；
（2）由勾股定理求出BD，設(shè)BE=DE=x，則AE=2a-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出OE，即可得出EF的長；
（3）設(shè)AB=a，則AD=na，同（2）得：設(shè)BE=DE=x，則AE=na-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE，再由已知條件得出方程，解方程即可求出n的值．

解答 解：（1）四邊形BEDF是菱形，理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠EDO=∠FBO，
∵EF是BD的垂直平分線，
∴BO=DO，EF⊥BD，
在△DEO和△BFO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDO=∠FBO}&{\;}\\{BO=DO}&{\;}\\{∠EOD=∠FOB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵EF⊥BD，
∴平行四邊形BEDF是菱形．
（2）∵AB=a（a為常數(shù)），n=2，AB=$\frac{1}{n}$AD，
∴AD=2a，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
由（1）得：四邊形BEDF是菱形，
∴BE=DE，OE=OF，
設(shè)BE=DE=x，則AE=2a-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²+AE²=BE²，
即a²+（2a-x）²=x²，
解得：x=$\frac{5}{4}$a，
∴DE=$\frac{5}{4}$a，
在Rt△ODE中，OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
由勾股定理得：OE=$\sqrt{D{E}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{4}a）^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$a，
∴EF=2OE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a；
（3）設(shè)AB=a，則AD=na，
同（2）得：設(shè)BE=DE=x，則AE=na-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²+AE²=BE²，
即a²+（na-x）²=x²，
解得：x=$\frac{1+{n}^{2}}{2n}$a，
∴DE=$\frac{1+{n}^{2}}{2n}$a，
∵矩形ABCD的面積S₂=AD•AB，
菱形BEDF的面積S₁=DE•AB，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{13}{25}$，
∴$\frac{\frac{1+{n}^{2}}{2n}a}{na}$=$\frac{13}{25}$，
解得：n=5．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明四邊形是菱形是解決問題的關(guān)鍵．