Question

如圖所示，已知正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于O點(diǎn)，O是正方形A′B′C′O′的一個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為a，若正方形A′B′C′O繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)．試觀(guān)察其重疊部分OEBF的面積有無(wú)變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若無(wú)變化，求出四邊形OEBF的面積．

Answer 1

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證得△AOE≌△BOF，從而可知S_{四邊形OEBF}=S_△AOB=

1

4

S_△ABCD．

解答：解：其重疊部分OEBF的面積無(wú)變化．理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，∠OAE=∠OBF=45°．
∵四邊形A′B′C′O為正方形，
∴∠C′OA′=90°，
即∠BOF+∠BOE=90°．
又∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠BOF=∠AOE．
在△OAE和△OBF中，
OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，
∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF，
∴S_△AOE=S_△BOF．
∴S_△AOE+S_△OBE=S_△BOF+S_△OBE，
即S_△AOB=S_{四邊形OEBF}，
∵S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

•

AB

2

•

AB

2

=

1

4

a2，
∴S_{四邊形OEBF}=

1

4

a2．

點(diǎn)評(píng)：求解時(shí)需抓住正方形的特征，找出△AOE與△BOF在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的對(duì)稱(chēng)性，獲得四邊形OEBF的面積與正方形面積的關(guān)系．