Question

（2012•集美區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC
（1）若添加條件：AB=AD，BD平分∠ABC，判斷結(jié)論“四邊形ABCD是菱形”是否正確？若正確請加以證明；若不正確，請舉出一個反例說明；
（2）若BC=3AD，M是AB的中點(diǎn)，MC交對角線BD于O，已知：OM=2，求OC的長．

Answer 1

分析：（1）不正確，等腰梯形ABCD中，AD=AB=CD，AD∥BC，AD平分∠ABC，BD⊥CD，就符合題意；
（2）首先過點(diǎn)D作DF∥AB，分別交CM，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，易得△CEF∽△CBM，△DBM∽△ODE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）不正確．
如圖，等腰梯形ABCD中，AD=AB=CD，AD∥BC，AD平分∠ABC，BD⊥CD．

（2）過點(diǎn)D作DF∥AB，分別交CM，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
∴AB=DF，BF=AD，
∵BC=3AD，
∴BC=3BF，
∵AB∥DF，
∴△CEF∽△CBM，△OBM∽△ODE，
∴

EF

BM

=

CF

CB

=

CE

CM

=

2

3

，

BM

DE

=

OM

OE

，
∵AM=BM，
∴EF：AB=1：3，
∴BM：DE=3：4，
∴OE=

4

3

OM=

8

3

，
∴EM=

14

3

，
∴CM=3EM=14，
∴OC=CM-OM=12．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)以及菱形的判定．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．