【題目】如圖1,在矩形紙片中,,折疊紙片使點落在邊上的處,拆痕為.過點,連接

1)求證:四邊形為菱形;

2)當點邊上移動時,折痕的端點、也隨之移動;

①當點與點重合時(如圖2),求菱形的邊長;

②若限定分別在邊、上移動,求的內(nèi)切圓半徑的取值范圍.

【答案】1)見解析;(2)①;②

【解析】

1)由折疊的性質(zhì)得出PBPE,BFEF,∠BPF=∠EPF,由平行線的性質(zhì)得出∠BPF=∠EFP,證出∠EPF=∠EFP,得出EPEF,因此BPBFEFEP,即可得出結論;
2)①由矩形的性質(zhì)得出BCAD5cm,CDAB3cm,∠A=∠D90°,由對稱的性質(zhì)得出CEBC5cm,在RtCDE中,由勾股定理求出DE4cm,得出AEADDE1cm;在RtAPE中,由勾股定理得出方程,解方程得出EPcm即可;
②當點Q與點C重合時,點E離點D最遠,此時RtCED的內(nèi)切圓半徑最大;當點P與點A重合時,點E離點D最近,此時RtCED的內(nèi)切圓半徑最;據(jù)此求解可得.

證明:(1)∵折疊紙片使點落在邊上的處,折痕為,

,,,

,∴,∴,

,∴,

∴四邊形為菱形;

2)解:①∵四邊形是矩形,

,,

∵點與點關于對稱,∴,

中,,

中,

,

解得:,

∴菱形的邊長為;

②當點與點重合時,如圖,點最遠,

此時的內(nèi)切圓半徑最大;

由①知,在,,;

∵∠D=OGD=OMD=90°,OG=OM

∴四邊形是正方形,

設正方形OMDG邊長為,則

,解得;

當點與點重合時,如圖所示:

離點最近,此時的內(nèi)切圓半徑最;

可知,在,,則

同理得,易得四邊形是正方形,

設正方形邊長為,則,,

,解得;

內(nèi)切圓半徑取值范圍為

練習冊系列答案
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A.

B.

C.

D.

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