Question

如圖1，將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起；如圖2，固定三角板ABC，將三角板ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角∠CAE=α（0°＜α＜180°）．
（1）當(dāng)α為

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度時(shí)，AD∥BC，并在圖3中畫(huà)出相應(yīng)的圖形；
（2）當(dāng)△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線(xiàn)）時(shí)，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角α的所有可能的度數(shù)；
（3）當(dāng)0°＜α＜45°，連接BD，利用圖4探究∠BDE+∠CAE+∠DBC的度數(shù)是否發(fā)生變化，并給出你的證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AD∥BC，再根據(jù)三角板的度數(shù)即可求出α的度數(shù)；
（2）要分5種情況進(jìn)行討論，分別畫(huà)出圖形，再分別計(jì)算出度數(shù)即可；
（3）先設(shè)BD分別交AC、AE于點(diǎn)M、N，在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180，再根據(jù)∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，得出∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，然后根據(jù)∠C=30°，∠E=45°，即可得出∠BDE+∠CAE+∠DBC的度數(shù)．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠FGC=∠D=90°，
∵∠C=30°，
∴∠AFD=∠CFG=60°，
∴∠DAF=30°，
∵∠DAE=45°，
∴∠CAE=15°，
∴當(dāng)α為 15度時(shí)，AD∥BC；

（2）當(dāng)△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線(xiàn)）時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的所有可能的度數(shù)是：15°，45°，105°，135°，150°；


（3）當(dāng)0°＜α＜45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°，保持不變；
理由如下：
設(shè)BD分別交AC、AE于點(diǎn)M、N，
在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180，
∵∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，
∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，
∵∠C=30°，∠E=45°，
∴∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°；

點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線(xiàn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點(diǎn)-旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．