Question

如圖，正方形AOBC的邊長(zhǎng)為4，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)正方形AOBC的中心D點(diǎn)，E為AO邊上任一點(diǎn)，F(xiàn)為OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE=BF，EF交AB于點(diǎn)G．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）判斷CG與EF之間的數(shù)量和位置關(guān)系；
（3）P是第三象限上一動(dòng)點(diǎn)，直線l：y=-x+2與y軸交于M點(diǎn)，過(guò)P作PN∥y軸交直線l于N．是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OPNM為等腰梯形？若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵正方形的中心是它的兩對(duì)角線的交點(diǎn)，
又∵正方形AOBC的邊長(zhǎng)為4，
∴正方形AOBC的中心D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）．
∵D點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴k=2×2=4，
∴；

（2）CG⊥EF，CG=EF．
證明：連接CE、CF，作EH∥BF交AB于H點(diǎn)，
∵CA=CB，∠CAE=∠CBF，AE=BF，
∴△CAE≌△CBF，
∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，
∴∠ECF=90°．
∵AE=EH=BF，∠EGH=∠BGF，∠HEG=∠BFG，
∴△EHG≌△FBG，
∴EG=FG．
∴CG⊥EF，CG=EF；


（3）過(guò)點(diǎn)M作ME⊥PN于E，
∴EM∥x軸，
設(shè)N坐標(biāo)為（a，-a+2），
∴EM=-a，NE=-a+2-2=-a，
∴ME=NE，
∴∠PNM=45°，
∵四邊形OPNM為等腰梯形，
∴∠PNM=∠NPO=45°．
∴設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x），代入，
∴x=±2．
∵P是第三象限上一動(dòng)點(diǎn)，
∴x=-2．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-2）．
分析：（1）正方形AOBC的邊長(zhǎng)為4，則正方形AOBC的中心D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），把這點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，就可以求出函數(shù)解析式；
（2）連接CE、CF，作EH∥BF交AB于H點(diǎn)，可以得到△CAE≌△CBF，因而可以證出△EHG≌△FBG，得到EG=FG則CG⊥EF，CG=EF；
（3）要讓四邊形OPNM為等腰梯形，必須有∠PNM=∠NPO=45°，則P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，因而設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x），代入，得到x的值，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的圖象畫(huà)法和它的性質(zhì)，利用形數(shù)結(jié)合解決此類(lèi)問(wèn)題，是非常有效的方法．