Question

如圖，正方形AOBC的邊長為4，反比例函數經過正方形AOBC的中心D點，E為AO邊上任一點，F為OB延長線上一點，AE=BF，EF交AB于點G．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）判斷CG與EF之間的數量和位置關系；
（3）P是第三象限上一動點，直線l：y=-x+2與y軸交于M點，過P作PN∥y軸交直線l于N．是否存在一點P，使得四邊形OPNM為等腰梯形？若存在請求出P點的坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）∵正方形的中心是它的兩對角線的交點，
又∵正方形AOBC的邊長為4，
∴正方形AOBC的中心D點的坐標為（2，2）．
∵D點在反比例函數的圖象上，
∴k=2×2=4，
∴；

（2）CG⊥EF，CG=EF．
證明：連接CE、CF，作EH∥BF交AB于H點，
∵CA=CB，∠CAE=∠CBF，AE=BF，
∴△CAE≌△CBF，
∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，
∴∠ECF=90°．
∵AE=EH=BF，∠EGH=∠BGF，∠HEG=∠BFG，
∴△EHG≌△FBG，
∴EG=FG．
∴CG⊥EF，CG=EF；


（3）過點M作ME⊥PN于E，
∴EM∥x軸，
設N坐標為（a，-a+2），
∴EM=-a，NE=-a+2-2=-a，
∴ME=NE，
∴∠PNM=45°，
∵四邊形OPNM為等腰梯形，
∴∠PNM=∠NPO=45°．
∴設P點的坐標為（x，x），代入，
∴x=±2．
∵P是第三象限上一動點，
∴x=-2．
∴P點的坐標為（-2，-2）．
分析：（1）正方形AOBC的邊長為4，則正方形AOBC的中心D點的坐標為（2，2），把這點的坐標代入反比例函數的解析式，就可以求出函數解析式；
（2）連接CE、CF，作EH∥BF交AB于H點，可以得到△CAE≌△CBF，因而可以證出△EHG≌△FBG，得到EG=FG則CG⊥EF，CG=EF；
（3）要讓四邊形OPNM為等腰梯形，必須有∠PNM=∠NPO=45°，則P點的橫縱坐標相等，因而設P點的坐標為（x，x），代入，得到x的值，從而求出點P的坐標．
點評：本題考查了反比例函數的圖象畫法和它的性質，利用形數結合解決此類問題，是非常有效的方法．