Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，交⊙O于點D，OF⊥AC于點F．
（1）試說明△ABC∽△DBE；
（2）當∠A=30°，AF=

3

時，求⊙O中劣弧

AC

的長．

Answer 1

分析：（1）根據都是直角三角形，同弧所對的圓周角相等，可知這兩個三角形三角相等，故相似．
（2）根據30度的正弦值求出圓的半徑，再根據連接OC，利用等腰三角形和三角形的內角和求出圓心角，即可求弧長．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（1分）
∵CD⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ACB=∠DEB（2分）
又∵∠A=∠D，
∴△ACB∽△DEB．（3分）

（2）解：連接OC，則OC=OA，（4分）
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠AOC=120°（5分）
∵OF⊥AC，
∴∠AFO=90°（6分）
在Rt△AFO中，cos30°=

AF

AO

=

3

AO

，
∴AO=2（7分）
∴AC弧的長為

120

180

π•2=

4

3

π．（9分）

點評：本題主要考查了弧長公式的應用．即l=

nπr

180

．