Question

在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，過B點(diǎn)作BG⊥AE于點(diǎn)G，交AC于H，交CD于點(diǎn)F。（1）求證：點(diǎn)F為邊BC的中點(diǎn)；（2）如果正方形的邊長(zhǎng)為4，求CH的長(zhǎng)度；（3）如果點(diǎn)M是BC上的一點(diǎn)，且AM=MC+CD，
探究∠MAD與∠BAE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，說明理由。

Answer 1

（1）證明：∵在正方形ABCD中，
∴AB=BC ∠ABC=∠BCD=90°
∵BG⊥AE
∴∠AGB=90°
∴∠ABG+∠BAG=90°
∠ABG+∠GBE=90°
∴ ∠BAG=∠GBE
∴△ABE≌△BCF   
∴BE="CF"
∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn) ∴BE=BC 
∴ CF=BC=CD   
∴點(diǎn)F為邊BC的中點(diǎn)
（2）∵ AB="BC=4" , ∠ABC =90°     ∴AC=
∵在正方形ABCD中, ∴AB∥CD ∴CH:HA=CF:AB
由(1)知CF=AB   ∴CH:HA=CF:AB=1:2
∴CH=AH=AC=       
（3）∠MAD=2∠BAE 理由如下：           
連接AF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

∵點(diǎn)F為邊BC的中點(diǎn)     ∴可證△ADF≌△NCF
∴CN=AD，∠N= ∠CAN
∵在正方形ABCD中,  ∴AD=DC=DN，
∵ AM=MC+CD  ∴MC+CN="MC+CD=NM"
∴AM=MN    ∴∠N=∠MAN
∴∠MAD=2∠DAF
由（1）可知點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，
∴DF=BE  ∠ABE=∠ADF=90°   AB=AD
△ABE≌△ADF
∴∠DAF=∠BAE
∴∠MAD=2∠BAE                     

（1）利用BG⊥AE，得出∠AGB=90°，進(jìn)而得出∠BAG=∠GBE，利用AAS得出△ABE≌△BCF，即可得出點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn)；
（2）根據(jù)AB∥CD，得出CH：HA=CF：AB，由（1）知CF=AB，得出CH：HA=CF：AB=1：2，進(jìn)而得出CH的長(zhǎng)度；
（3）首先證明△ADF≌△NCF，得出CN=AD，∠N=∠CAN，進(jìn)而得出∠MAD=∠AMB=2∠DAF，再求出△ABE≌△ADF（SAS），得出∠DAF=∠BAE，∠MAD=2∠BAE