Question

如圖，延長(zhǎng)四邊形ABCD的四邊分別至E、F、G、H，使AB=nBE，BC=nCF，CD=nDG，DA=nAH（n＞0），則四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積之比為________（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

（n²+2n+2）：n²
分析：連接BH，BD，DF，根據(jù)等高的兩個(gè)三角形面積比等于底邊之比，設(shè)S_△BEH=a，則S_△ABH=na，S_△ABD=an²，同理設(shè)S_△DFG=b，則S_△CDF=bn，S_△BCD=bn²，從而得（S_△AEH+S_△CFG）：S_{四邊形ABCD}=（a+an+b+bn）：（an²+bn²）=（n+1）：n²，同理可證（S_△HGD+S_△BEF）：S_{四邊形ABCD}=（n+1）：n²，再求（S_△AEH+S_△CFG+S_△HGD+S_△BEF）：S_{四邊形ABCD}=（2n+2）：n²，根據(jù)S_{四邊形EFGH}=S_△AEH+S_△CFG+S_△HGD+S_△BEF+S_{四邊形ABCD}求解．
解答：解：連接BH，BD，DF，
設(shè)S_△BEH=a，則S_△ABH=na，S_△ABD=an²，
同理設(shè)S_△DFG=b，則S_△CDF=bn，S_△BCD=bn²，
∴（S_△AEH+S_△CFG）：S_{四邊形ABCD}=（a+an+b+bn）：（an²+bn²）=（n+1）：n²，
同理可證（S_△HGD+S_△BEF）：S_{四邊形ABCD}=（n+1）：n²，
∴（S_△AEH+S_△CFG+S_△HGD+S_△BEF）：S_{四邊形ABCD}=（2n+2）：n²，
∵S_{四邊形EFGH}=S_△AEH+S_△CFG+S_△HGD+S_△BEF+S_{四邊形ABCD}，
∴S_{四邊形EFGH}：S_{四邊形ABCD}=（n²+2n+2）：n²．
故答案為：（n²+2n+2）：n²．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用求三角形面積的方法求四邊形面積之比的問題．關(guān)鍵是作輔助線，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積，利用等高的兩個(gè)三角形面積比等于底邊之比求解．