Question

已知拋物線y=-x²+（m-2）x+3（m+1）．
（1）求證：無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有交點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)C，當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）時(shí)，如果∠CAB或∠CBA這兩角中有一個(gè)角是鈍角，那么m的取值范圍是

 

；
（3）在（2）的條件下，P是拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)△PAO的面積與△ABC的面積相等時(shí)，求該拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)判別式解出無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)都大于零，再判斷出物線與x軸總有交點(diǎn)．
（2）根據(jù)已有的條件，就能確定出m的取值范圍，即可得到結(jié)果．
（3）根據(jù)拋物線y=-x²+（m-2）x+3（m+1），求出x_1和x₂的值，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再分2個(gè)方面進(jìn)行討論，當(dāng)A（m+1，0）、B（-3，0）時(shí)和A（-3，0）、B（m+1，0）時(shí)，最后求出結(jié)果即可．

解答：（1）證明：∵△=（m-2）²-4×（-1）×3（m+1）
=（m+4）²≥0
∴無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有交點(diǎn)．
（2）解：∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），∠CAB或∠CBA這兩角中有一個(gè)角是鈍角，
∴m+1＜0，（可以畫(huà)圖象得出），當(dāng)m=-4，圖象與坐標(biāo)軸一個(gè)交點(diǎn)，
∴m＜-1且m≠-4．
（3）解：令y=-x²+（m-2）x+3（m+1）=0，
解得x₁=m+1，x₂=-3．
可求得頂點(diǎn)P(

m-2

2

，

(m+4)2

4

)．
①當(dāng)A（m+1，0）、B（-3，0）時(shí)，
∵S_△PAO=S_△ABC，
∴

1

2

(m+1)×

(m+4)2

4

=

1

2

(-m-4)×3(m+1)．
解得m=-16．
∴y=-x²-18x-45．
②當(dāng)A（-3，0）、B（m+1，0）時(shí)，
同理得

1

2

×3×

(m+4)2

4

=

1

2

(m+4)×[-3(m+1)]．
解得m=-

8

5

．
∴y=-x2-

18

5

x-

9

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，在解題時(shí)要注意找出各點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，再把各點(diǎn)代入解析式是解題的關(guān)鍵．