Question

【題目】問題情境：在中，，點是的中點，以為角的頂點作．

感知易證：（1）如圖1，當射線經過點時，交邊于點.將從圖1中的位置開始，繞點按逆時針方向旋轉，使射線、始終分別交邊，于點、，如圖2所示，易證，則有．

操作探究：（2）如圖2，與是否相似，若相似，請證明；若不相似，請說明理由；

拓展應用：（3）若，直接寫出當（2）中的旋轉角為多少度時，與相似．

Answer 1

【答案】（1）CD；（2）△BDF∽△DEF，理由見詳解；（3）10°或40°．

【解析】

（1）如圖2，根據(jù)∠EDF＝∠B及三角形外角性質可得∠BFD＝∠CDE，再根據(jù)∠B＝∠C即可得到△BFD∽△CDE解決問題．

（2）如圖2，由（2）得△BFD∽△CDE，則有，由D是BC的中點可得．再根據(jù)∠B＝∠EDF即可得到△BDF∽△DEF．

（3）由∠B＝∠C＝50°可得∠BAC＝80°，AB＝AC，再由BD＝CD可得AD⊥BC．若△DEF與△ABC相似，由△BDF∽△DEF可得△BDF與△ABC相似，從而得到∠BDF＝∠BAC＝80°，或∠BDF＝∠C＝50°，即可解決問題．

解：（1）如圖2，

∵AB＝AC

∴∠B＝∠C，

∵∠FDC是△BFD的一個外角，

∴∠FDC＝∠B+∠BFD．

∵∠FDC＝∠FDE+∠EDC，∠EDF＝∠B，

∴∠BFD＝∠CDE．

∵∠B＝∠C，

∴△BFD∽△CDE；

∴．

（2）如圖2，結論：△BDF∽△DEF．

理由：由（1）得．

∵D是BC的中點，

∴BD＝CD，

∴，

又∵∠B＝∠EDF，

∴△BDF∽△DEF．

（3）連接AD，如圖3，

∵∠B＝∠C＝50°，

∴∠BAC＝80°，AB＝AC．

∵BD＝CD，

∴AD⊥BC．

若△DEF與△ABC相似，

∵△BDF∽△DEF，

∴△BDF與△ABC相似，

∴∠BDF＝∠BAC＝80°，或∠BDF＝∠C＝50°，

∴∠ADF＝90°﹣80°＝10°，或∠ADF＝90°﹣50°＝40°，

∴當（2）中的旋轉角為10°或40°時，△DEF與△ABC相似．