Question

已知：如圖，邊長為a的正△ABC內(nèi)有一邊長為b的正△DEF，且a-b=2，則△AEF的內(nèi)切圓半徑為

 

．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：由于△ABC、△EFD都是等邊三角形，可證得△AEF≌△BFD≌△CDE，即可求得△AEF的周長，然后根據(jù)正三角形的性質(zhì)，求得△ABC與△DEF的面積，繼而求得△AEF的面積，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出△AEF的內(nèi)切圓半徑．

解答：解：設△AEF的內(nèi)切圓半徑為r，
∵△ABC、△DEF都是正三角形，且△DEF的三個頂點都在△ABC的邊上，
∴∠A=∠B=∠C=60°，EF=DE=DF，
∴∠AFE+∠BFD=120°，∠BFD+∠FDB=120°，
∴∠AFE=∠BDF，
同理可得：∠AFE=∠BDF=∠CED，
∴△AEF≌△BFD≌△CDE，
∴AF=BD，AE+AF+EF=a+b，
S_△ABC=

3

4

a²，S_△DEF=

3

4

b²，
∴S_△AEF=

1

3

（S_△ABC-S_△DEF）=

3

12

（a²-b²），
則r=

2 S△AEF

AE+AF+EF

=

3

6

（a-b）=

3

3

．

點評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性強，難度較大，解題的關鍵是注意數(shù)形結(jié)合與整體思想的應用．