Question

已知拋物線y=-

1

2

x2+mx+n與x軸交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，若A，B兩點(diǎn)位于y軸異側(cè)，且tan∠CAO=tan∠BCO=

1

3

，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：根據(jù)二次函數(shù)解析式作出草圖，再根據(jù)三角形的性質(zhì)可以知道各段邊長(zhǎng)長(zhǎng)度的比值，根據(jù)比值列出等式，求出m、n的值，確定二次函數(shù)解析式．

解答：解：∵圖象與x軸有交點(diǎn)，∴令y=0，
∵圖象與y軸有交點(diǎn)，∴令x=0，
∴y=n 即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），
∵tan∠CAO=tan∠BCO=

1

3

，
∴

OC

AO

= 

OB

OC

= 

1

3

，
∵∠ACB=90°，CO⊥x軸，
∴OC²=AO•OB，
∵A、B兩點(diǎn)在y軸異側(cè)，
∴OA=3n，OB=

1

3

n，
即n²=n，∵n≠0，∴n=1，∴OC=1，
∴AO=3，B0=

1

3

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），
同理解得B點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

3

，0），
設(shè)y=a（x+3）（x-

1

3

）
且它過點(diǎn)C（0，1），
代入后解得：a=-1，
所以：y=-x²-

8

3

x-1．
答：拋物線的解析式為：y=-x²-

8

3

x-1．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于綜合類問題，主要考查了二次函數(shù)解析式系數(shù)的確定，以及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)．