Question

已知m，n，p為正整數(shù)，m＜n．設(shè)A（-m，0），B（n，0），C（0，p），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若∠ACB=90°，且OA²+OB²+OC²=3（OA+OB+OC）．
（1）證明：m+n=p+3；
（2）求圖象經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴OA•OB=OC²，即mn=p²．
∵OA²+OB²+OC²=3（OA+OB+OC），
∴m²+n²+p²=3（m+n+p）．
又∵m²+n²+p²=（m+n+p）²-2（mn+np+mp）=（m+n+p）²-2（p²+np+mp）=（m+n+p）²-2p（m+n+p）=（m+n+p）（m+n-p），
∴m+n-p=3，即m+n=p+3．


（2）∵mn=p²，m+n=p+3，
∴m，n是關(guān)于x的一元二次方程x²-（p+3）x+p²=0①的兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，
∴△=[-（p+3）]²-4p²＞0，解得-1＜p＜3．
又∵p為正整數(shù)，故p=1或p=2．
當(dāng)p=1時(shí)，方程①為x²-4x+1=0，沒(méi)有整數(shù)解．
當(dāng)p=2時(shí)，方程①為x²-5x+4=0，兩根為m=1，n=4．
綜合知：m=1，n=4，p=2．
設(shè)圖象經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=k（x+1）（x-4），將點(diǎn)C（0，2）的坐標(biāo)代入得2=k×1×（-4），解得k=-．
∴圖象經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=-（x+1）（x-4）=-x²+x+2．
分析：（1）先根據(jù)∠ACB=90°，OC⊥AB，由射影定理可得OA•OB=OC²，即mn=p²，再根據(jù)OA²+OB²+OC²=3（OA+OB+OC）即可得出m²+n²+p²=3（m+n+p），再由完全平方公式即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)mn=p²，m+n=p+3構(gòu)造出以m、n為根據(jù)一元二次方程，再根據(jù)根的判別式得出p的取值范圍，再根據(jù)m，n，p為正整數(shù)且m＜n即可得出m，n，p的值，進(jìn)而可求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出過(guò)此三點(diǎn)的拋物線解析式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及知識(shí)點(diǎn)有射影定理、完全平方公式、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有一定的難度．